Residuum

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: residuum w sedymentologii (geologii).

Residuum (z łac. „reszta”, od neutr. residuus – pozostałość, od residēre – pozostawać) funkcji w punkcie – pierwszy współczynnik części osobliwej rozwinięcia w szereg Laurenta danej funkcji holomorficznej w pewnym pierścieniu otaczającym punkt .

Innymi słowy, jeśli jest funkcją holomorficzną w pewnym pierścieniu otaczającym , to jej residuum w punkcie nazywa się współczynnik w jej rozwinięciu w szereg Laurenta w punkcie

Równoważna definicja: residuum w punkcie funkcji holomorficznej w otoczeniu nakłutym punktu nazywamy wartość:

gdzie jest krzywą zwykłą zamkniętą dodatnio zorientowaną okrążającą punkt .

Zachodzi też wzór

gdzie to rząd bieguna w punkcie .

Residuum jest liczbą zespoloną opisującą zachowanie całek po konturach analitycznej funkcji f(z) wokół punktu osobliwości. Twierdzenie o residuach pomaga przy obliczaniu całek po konturach.

Rozważmy przykład całki po konturze:

gdzie C jest dodatnio zorientowanym okręgiem ze środkiem w 0.

Obliczmy tę całkę bez używania standardowych twierdzeń o całkowaniu. Szereg Taylora dla ez jest dobrze znany, więc wstawiamy go do całki. Otrzymamy:

Dołączmy składnik 1/z5 do szeregu, otrzymamy:

Nasza całka otrzyma przyjemniejszą formę. Zauważmy, że:

gdy

Teraz całka wokół C dla każdego składnika ze współczynnikiem innym od cz−1 staje się 0, i całość redukuje się do:

I w efekcie za pomocą wzoru całkowego Cauchy'ego otrzymujemy równość:

Wartość 1/4! jest znana jako residuum z ez/z5 w z=0, a jego notacja to

Zobacz też[edytuj]