Residuum

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: residuum w sedymentologii (geologii).

Residuum (z łac. „reszta”, od neutr. residuus – pozostałość, od residēre – pozostawać) – pierwszy współczynnik części osobliwej w rozwinięciu danej funkcji holomorficznej w szereg Laurenta w ustalonym punkcie.

Innymi słowy, jeśli f jest funkcją holomorficzną, to jej residuum w punkcie z_0 nazywa się współczynnik a_{-1} w jej rozwinięciu \sum a_n(z-z_0)^n w szereg Laurenta w punkcie z_0.

Równoważna definicja: residuum w punkcie z_0 funkcji f holomorficznej w otoczeniu nakłutym punktu z_0 nazywamy wartość:

 \mathrm{Res}(f,z_0)  =\frac{1}{2\pi i} \oint\limits_\gamma f(z)\ \operatorname dz,

gdzie \gamma jest krzywą zwykłą zamkniętą dodatnio zorientowaną okrążającą punkt z_0.

Zachodzi też wzór

 \mathrm{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left( f(z)(z-z_0)^{n} \right),

gdzie n to rząd bieguna w punkcie z_0.

Residuum jest liczbą zespoloną opisującą zachowanie całek po konturach analitycznej funkcji f(z) wokół punktu osobliwości. Twierdzenie o residuach pomaga przy obliczaniu całek po konturach.

Rozważmy przykład całki po konturze:

\oint\limits_C {e^z \over z^5}\ \operatorname dz,

gdzie C jest dodatnio zorientowanym okręgiem ze środkiem w 0.

Obliczmy tę całkę bez używania standardowych twierdzeń o całkowaniu. Szereg Taylora dla ez jest dobrze znany, więc wstawiamy go do całki. Otrzymamy:

\oint\limits_C {1 \over z^5}\left(1+z+{z^2 \over 2!} + {z^3\over 3!} + {z^4 \over 4!} + {z^5 \over 5!} + {z^6 \over 6!} + \ldots\right)\ \operatorname dz.

Dołączmy składnik 1/z5 do szeregu, otrzymamy:

\oint\limits_C \left({1 \over z^5}+{z \over z^5}+{z^2 \over 2!z^5} + {z^3\over 3! z^5} + {z^4 \over 4! z^5} + {z^5 \over 5! z^5} + {z^6 \over 6! z^5} + \ldots\ \right) \operatorname dz
\oint\limits_C \left({1 \over z^5}+{1 \over z^4}+{1 \over 2! z^3} + {1\over 3! z^2} + {1 \over 4! z} + {1\over 5!} + {z \over 6!} + \ldots\ \right) \operatorname dz

Nasza całka otrzyma przyjemniejszą formę. Zauważmy, że:

\oint\limits_C {1 \over z^a} \ \operatorname dz=0, gdy a \in \mathbb Z \setminus \{ 1 \}.

Teraz całka wokół C dla każdego składnika ze współczynnikiem innym od cz−1 staje się 0, i całość redukuje się do:

\oint\limits_C {e^z \over z^5}\ \operatorname dz = \oint\limits_C {1 \over 4! z}\ \operatorname dz.

I w efekcie za pomocą wzoru całkowego Cauchy'ego otrzymujemy równość:

\oint\limits_C {e^z \over z^5}\ \operatorname dz = \oint\limits_C {1 \over 4! z}\ \operatorname dz={1 \over 4!}(2\pi i).

Wartość 1/4! jest znana jako residuum z ez/z5 w z=0, a jego notacja to

\mathrm{Res}_0 {e^z \over z^5},\ \mbox{ lub }\ \mathrm{Res}_{z=0} {e^z \over z^5},\ \mbox{ lub }\ \mathrm{Res}(f,0).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Całka krzywoliniowa (twierdzenie Cauchy'ego)