Retrakcja (topologia)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy topologii. Zobacz też: retrakcja (teoria kategorii).

Retrakcja – rodzaj przekształcenia ciągłego przestrzeni topologicznej.

Definicje[edytuj]

Niech będzie przestrzenią topologiczną oraz . Funkcja ciągła

nazywana jest retrakcją, jeżeli

,

tzn. zachodzi równosć dla wszystkich elementów przestrzeni .

Retrakcje odpowiadają w sposób wzajemnie jednoznaczny ciągłym odwzorowaniom idempotentnym

,

tj. takim funkcjom , że . Idempotentem odpowiadającym retrakcji

jest odwzorowanie , gdzie jest zanurzeniem kanonicznym: dla każdego elementu przestrzeni .

Retraktem przestrzeni topologicznej nazywany jest każdy taki zbiór , dla którego istnieje retrakcja . Przestrzenie homeomorficzne z retraktem nazywane są r-obrazami przestrzeni . Pojęcie retraktu i r-obrazu wprowadzone zostało przez Karola Borsuka.

Retraktem absolutnym (AR) nazywa się taką przestrzeń topologiczną , która włożona jako podzbiór domknięty w dowolną przestrzeń normalną jest retraktem .

Własności[edytuj]

Dowód. Niech będzie retrakcją przestrzeni na swoją podprzestrzeń . Należy dowieść, że dla dowolnej funkcji o wartościach w każdej takiej przestrzeni topologicznej , że złożenie jest ciągłe, również samo jest ciągłe. Wynika to natychmiast z równości:

,

gdzie jest identycznościowym włożeniem w przestrzeń .

  • Podprzestrzeń przestrzeni topologicznej jest jej retraktem wtedy i tylko wtedy, gdy każde przekształcenie ciągłe określone na może być przedłużone na .

Dowód. Niech będzie retrakcją przestrzeni Hausdorffa na swoją podprzestrzeń . Przekątna:

jest podzbiorem domkniętym w produkcie (tw. Bourbakiego). Zatem

jest domknięte w , jako przeciwobraz zbioru domkniętego przy odwzorowaniu ciągłym , przy czym oznacza przekształcenie identycznościowe.

  • Każda podprzestrzeń 1-punktowa jest retraktem. Każda przestrzeń topologiczna, która nie ma własności T1, ma podprzestrzeń, która jest retraktem, ale która nie jest domknięta w całej przestrzeni. Tak więc niedomknięte retrakty istnieją już w pewnych przestrzeniach 2-punktowych.
  • Niech będzie niepustym podzbiorem otwartym w -wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Jeżeli jest taką podprzestrzenią zwartą w przestrzeni, że , to zbiór nie jest retraktem przestrzeni . Twierdzenie to zostało udowodnione przez Karola Borsuka.

Dowód.  Niech  .  Niech   będzie kulą domkniętą, o środku w punkcie  ,   zawierającą    w swoim wnętrzu. Gdyby twierdzenie nie zachodziło, to istniałaby retrakcja przestrzeni   na  . Jest ona zgodna z identycznością na zbiorze domkniętym  ,  więc razem tworzą retrakcję   na  .  Oznaczmy tę retrakcję przez  r.  Wtedy, oznaczając przez  s  promień kuli, oraz przez  S   sferę brzegową kuli  B,  zdefiniujmy  :

Zatem   byłoby retrakcją kuli domkniętej na jej sferę brzegową, co jest niemożliwe. Koniec dowodu.

  • Twierdzenie (K.Borsuk)  Niech   będzie podprzestrzenią zwartą w – liczba naturalna.   Niech  będzie otoczeniem otwartym   w  ,  przy czym   jest retraktem  .  Wtedy   ma tylko skończoną liczbę składowych spójności.

Dowód.  Niech   będzie zwartym podzbiorem w   ,  zawierającym    w swoim wnętrzu  (  może być kulą domkniętą o dostatecznie wielkim promieniu). Niech  .  Zatem    jest retraktem zbioru otwartego   .

Niech   będzie jedną ze składowych spójności zbioru  . Wtedy    jest zbiorem otwartym (zawiera kulę otwartą wokół każdego swojego punktu) oraz   jest zbiorem domkniętym, jako dopełnienie unii wszystkich pozostałych składowych spójności zbioru  .  Gdyby  ,   to    byłoby zwarte, i miałoby   za swój retrakt, w sprzeczności z wcześniejszym twierdzeniem Borsuka, powyżej. Zatem rodzina:

jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej   niepustymi zbiorami parami rozłącznymi  . Możemy z niego wybrać podpokrycie skończone. Ale jedynym podpokryciem pokrycia, złożonego z niepustych zbiorów parami rozłącznych, jest całe pokrycie. Zatem jest ono skończone – innymi słowy, zachodzi teza. Koniec dowodu.

Przykłady[edytuj]

  • jest retraktem zbioru liczb rzeczywistych z topologią naturalną. Retrakcją jest na przykład:  , określona:
.
  • Sfera jednowymiarowa (jednostkowy okrąg) nie jest retraktem przestrzeni (płaszczyzny). Jest natomiast retraktem przestrzeni (płaszczyzny bez jednego punktu). Retrakcją jest na przykład , określona:  .

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. P McDougle: A theorem on quasi-compact mappings. Proceedings of the American Mathematical Society 9, 1958, s. 474-477.
  2. P McDougle: Mappings and space relations. Proceedings of the American Mathematical Society, 1959, s. 320-323.

Literatura[edytuj]

  1. Karol Borsuk: Theory of retracts. Warszawa: PWN, 1966.
  2. Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976.