Retrakcja (topologia)
Retrakcja – przekształcenie ciągłe przestrzeni topologicznej X w zbiór A będący podzbiorem X, tak aby wszystkie punkty ze zbioru A pozostały na swoim miejscu[1].
Definicje
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie przestrzenią topologiczną oraz Funkcja ciągła
nazywana jest retrakcją, jeżeli
tzn. zachodzi równość dla wszystkich elementów przestrzeni
Retrakcje odpowiadają w sposób wzajemnie jednoznaczny ciągłym odwzorowaniom idempotentnym
tj. takim funkcjom że Idempotentem odpowiadającym retrakcji
jest odwzorowanie gdzie jest zanurzeniem kanonicznym: dla każdego elementu przestrzeni
Retraktem przestrzeni topologicznej nazywany jest każdy taki zbiór dla którego istnieje retrakcja Przestrzenie homeomorficzne z retraktem nazywane są r-obrazami przestrzeni Pojęcie retraktu i r-obrazu wprowadzone zostało przez Karola Borsuka.
Retraktem absolutnym (AR) nazywa się taką przestrzeń topologiczną która włożona jako podzbiór domknięty w dowolną przestrzeń normalną jest retraktem
Własności
[edytuj | edytuj kod]- Retrakcje przestrzeni topologicznych są przekształceniami ilorazowymi[2][3].
Dowód. Niech będzie retrakcją przestrzeni na swoją podprzestrzeń Należy dowieść, że dla dowolnej funkcji o wartościach w każdej takiej przestrzeni topologicznej że złożenie jest ciągłe, również samo jest ciągłe. Wynika to natychmiast z równości:
gdzie jest identycznościowym włożeniem w przestrzeń
- Podprzestrzeń przestrzeni topologicznej jest jej retraktem wtedy i tylko wtedy, gdy każde przekształcenie ciągłe określone na może być przedłużone na
- Każdy retrakt przestrzeni Hausdorffa jest domknięty.
Dowód. Niech będzie retrakcją przestrzeni Hausdorffa na swoją podprzestrzeń Przekątna:
jest podzbiorem domkniętym w produkcie (tw. Bourbakiego). Zatem
jest domknięte w jako przeciwobraz zbioru domkniętego przy odwzorowaniu ciągłym przy czym oznacza przekształcenie identycznościowe.
- Każda podprzestrzeń 1-punktowa jest retraktem. Każda przestrzeń topologiczna, która nie ma własności T1, ma podprzestrzeń, która jest retraktem, ale która nie jest domknięta w całej przestrzeni. Tak więc niedomknięte retrakty istnieją już w pewnych przestrzeniach 2-punktowych.
- Niech będzie niepustym podzbiorem otwartym w -wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Jeżeli jest taką podprzestrzenią zwartą w przestrzeni że to zbiór nie jest retraktem przestrzeni Twierdzenie to zostało udowodnione przez Karola Borsuka.
Dowód. Niech Niech będzie kulą domkniętą, o środku w punkcie zawierającą w swoim wnętrzu. Gdyby twierdzenie nie zachodziło, to istniałaby retrakcja przestrzeni na Jest ona zgodna z identycznością na zbiorze domkniętym więc razem tworzą retrakcję na Oznaczmy tę retrakcję przez r. Wtedy, oznaczając przez s promień kuli, oraz przez S sferę brzegową kuli B, zdefiniujmy
Zatem byłoby retrakcją kuli domkniętej na jej sferę brzegową, co jest niemożliwe. Koniec dowodu.
- Twierdzenie (K.Borsuk) Niech będzie podprzestrzenią zwartą w – liczba naturalna. Niech będzie otoczeniem otwartym w przy czym jest retraktem Wtedy ma tylko skończoną liczbę składowych spójności.
Dowód. Niech będzie zwartym podzbiorem w zawierającym w swoim wnętrzu ( może być kulą domkniętą o dostatecznie wielkim promieniu). Niech Zatem jest retraktem zbioru otwartego
Niech będzie jedną ze składowych spójności zbioru Wtedy jest zbiorem otwartym (zawiera kulę otwartą wokół każdego swojego punktu) oraz jest zbiorem domkniętym, jako dopełnienie unii wszystkich pozostałych składowych spójności zbioru Gdyby to byłoby zwarte, i miałoby za swój retrakt, w sprzeczności z wcześniejszym twierdzeniem Borsuka, powyżej. Zatem rodzina:
- – składowa w
jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej niepustymi zbiorami parami rozłącznymi Możemy z niego wybrać podpokrycie skończone. Ale jedynym podpokryciem pokrycia, złożonego z niepustych zbiorów parami rozłącznych, jest całe pokrycie. Zatem jest ono skończone – innymi słowy, zachodzi teza. Koniec dowodu.
- Każdy niepusty, domknięty podzbiór zbioru Cantora jest jego retraktem.
- Każdy niepusty, domknięty podzbiór kostki Cantora będący zbiorem typu Gδ, jest jej retraktem.
- Retrakt przestrzeni mającej własność punktu stałego ma własność punktu stałego.
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]- jest retraktem zbioru liczb rzeczywistych z topologią naturalną. Retrakcją jest na przykład: określona:
- Sfera jednowymiarowa (jednostkowy okrąg) nie jest retraktem przestrzeni (płaszczyzny). Jest natomiast retraktem przestrzeni (płaszczyzny bez jednego punktu). Retrakcją jest na przykład określona:
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Ciesielski 1997 ↓, s. 106.
- ↑ P McDougle: A theorem on quasi-compact mappings. Proceedings of the American Mathematical Society 9, 1958, s. 474–477.
- ↑ P McDougle: Mappings and space relations. Proceedings of the American Mathematical Society, 1959, s. 320–323.
Literatura
[edytuj | edytuj kod]- Krzysztof Ciesielski, Zdzisław Pogoda: Diamenty Matematyki. Prószyński i S-ka, 1997. ISBN 83-7180-145-9.
- Karol Borsuk: Theory of retracts. Warszawa: PWN, 1966.
- Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976.