Rodzina indeksowana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rodzina indeksowana – uogólnienie pojęcia rodziny zbiorów analogiczne do uogólnienia zbioru przez ciągi. Rodzinę indeksowaną zbiorów definiuje się określając wpierw ogólniejsze pojęcie rodziny indeksowanej elementów.

Definicja formalna[edytuj]

Niech oraz będą dowolnymi zbiorami. Rodziną elementów (zbioru) indeksowaną przez nazywa się funkcję oznaczaną symbolami bądź po prostu Same obrazy oznacza się symbolicznie zaś dziedzina nosi nazwę zbioru indeksów.

Niech będzie zbiorem. Rodzina indeksowana zbiorów to rodzina indeksowana odwzorowująca w elementy zbioru potęgowego zbioru

Przykłady[edytuj]

Niech oznacza zbiór skończony gdzie oznacza dodatnią liczbę całkowitą. Wówczas

Dowolny zbiór można w naturalny sposób przekształcić w rodzinę indeksowaną elementami tego zbioru.

Rodzina a zbiór[edytuj]

Funkcje suriektywne („na”) i rodziny indeksowanej są formalnie równoważne – każda funkcja o dziedzinie i przeciwdziedzinie zadaje rodzinę Ponadto rodzina indeksowana zawiera element dokładnie raz wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadająca jej funkcja jest iniektywna (różnowartościowa).

Ponieważ przynależność elementu do rodziny indeksowanej jest równoważna przynależności elementu do obrazu odpowiadającej jej funkcji, to w praktyce rodzinę indeksowaną niejednokrotnie traktuje się nie jako funkcję, lecz jako zbiór czyli obraz w którym elementy dla utożsamiane są z elementami zbioru

Podejście takie może jednak prowadzić do niejasności: utożsamienie rodziny indeksowanej zbiorów z jej obrazem powoduje, że oddzielne koncepcyjnie od siebie pojęcia rodziny zbiorów (będącej synonimem „zbioru zbiorów”) i rodziny indeksowanej zbiorów są tożsame; w ten sposób zostaje utracona informacja o wielokrotnym występowaniu zbiorów, czy strukturze

Notacja wskaźnikowa

Jeżeli tylko stosowana notacja wskaźnikowa, indeksowane obiekty tworzą rodzinę. Niech dane będzie zdanie:

Wektory liniowo niezależne.

Tutaj oznacza rodzinę wektorów. Wskazanie na -ty wektor ma sens wyłącznie w odniesieniu do tej rodziny, ponieważ zbiory są nieuporządkowane i nie istnieje -ty wektor zbioru. Co więcej liniowa niezależność definiowana jest wyłącznie jako własność zbioru; istotne jest więc, czy wektory są liniowo niezależne jako zbiór, czy jako rodzina.

Dla oraz zbiór złożony z wyłącznie jednego elementu jest liniowo niezależny, jednak rodzina zawierająca ten sam element dwukrotnie jest liniowo zależna.

Macierze

Jeżeli tekst zawiera następujące stwierdzenie:

Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy wiersze są liniowo niezależne;

to podobnie jak wyżej istotne jest, że wiersze są liniowo niezależne jako rodzina, a nie jako zbiór. Jeśli dana jest macierz

to zbiór jej wierszy składa się tylko z jednego elementu co oznacza, że jest on liniowo niezależny – mimo wszystko macierz nie jest odwracalna; z kolei rodzina wierszy zawiera dwa elementy, które są liniowo zależne. Tak wiec zdanie jest prawdziwe, gdy odnosi się do rodziny wierszy i fałszywe, gdy odnosi się do zbioru wierszy.

Działania[edytuj]

Ze zbiorów indeksowanych korzysta się często do zapisu sumowania i innych, podobnych działań. Przykładowo, jeżeli jest rodziną liczb, to sumę wszystkich tych liczb oznacza się symbolem

Sumę rodziny zbiorów oznacza się analogicznie:

Podobnie ma się rzecz z przekrojami i iloczynami kartezjańskimi.

Podrodzina[edytuj]

Rodzina jest podrodziną rodziny wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzbiorem i dla wszystkich zachodzi

Uogólnienia[edytuj]

 Osobny artykuł: diagram (teoria kategorii).

Analogiczny pomysł z teorii kategorii nazywa się diagramem: diagram to funktor uogólniający rodzinę indeksowaną obiektów kategorii indeksowany przez inną kategorię

Zobacz też[edytuj]

Literatura[edytuj]