Rodzina indeksowana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rodzina indeksowana, układ indeksowany lub po prostu układ – zbiór elementów powiązanych z indeksami; uogólnienie pojęcia ciągu na funkcje określone na dowolnych zbiorach indeksów. Formalnie funkcja traktowana koncepcyjnie jak zbiór (zob. dalej).

Przykładowo:

Definicja[edytuj]

Układem lub rodziną elementów zbioru indeksowaną przez (o indeksach/wskaźnikach ze zbioru) nazywa się funkcję [1] oznaczaną symbolami bądź po prostu obrazy oznacza się zwyczajowo [1].

Dowolny zbiór można w naturalny sposób przekształcić w rodzinę indeksowaną elementami tego zbioru. W szczególności: gdy to można wyróżnić związany z tym zbiorem układ elementów [1].

Elementy zbioru same mogą być zbiorami, wówczas mówi się o rodzinach zbiorów indeksowanych przez Wtedy funkcja odwzorowuje zbiór indeksów w zbiór potęgowy pewnego zbioru

Rodzinę/układ nazywa się podrodziną/podukładem rodziny/układu , gdy oraz dla każdego [1].

Przykłady[edytuj]

Niech oznacza zbiór skończony ( oznacza dodatnią liczbę całkowitą). Wówczas:

Rodzina a zbiór[edytuj]

Funkcje „na” (surjektywne) i rodziny indeksowane są formalnie równoważne – każda funkcja zadaje rodzinę Ponadto rodzina indeksowana zawiera element dokładnie raz wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadająca jej funkcja jest różnowartościowa (iniektywna).

Ponieważ przynależność elementu do rodziny indeksowanej jest równoważna przynależności elementu do obrazu odpowiadającej jej funkcji, to w praktyce rodzinę indeksowaną niejednokrotnie traktuje się nie jako funkcję, lecz jako zbiór czyli obraz w którym elementy dla utożsamiane są z elementami zbioru Gleichgewicht obrazuje to następująco: gdy układ jest ciągiem, to podukład jest pociągiem; a gdy jest zbiorem, podukład jest podzbiorem[1].

Podejście takie może jednak prowadzić do niejasności: utożsamienie rodziny indeksowanej zbiorów z jej obrazem powoduje, że oddzielne koncepcyjnie od siebie pojęcia rodziny zbiorów (będącej synonimem „zbioru zbiorów”) i rodziny indeksowanej zbiorów są tożsame; w ten sposób zostaje utracona informacja o wielokrotnym występowaniu zbiorów, czy strukturze

Notacja wskaźnikowa

Jeżeli tylko stosowana notacja wskaźnikowa, indeksowane obiekty tworzą rodzinę. Niech dane będzie zdanie:

Wektory liniowo niezależne.

Tutaj oznacza rodzinę wektorów. Wskazanie na -ty wektor ma sens wyłącznie w odniesieniu do tej rodziny, ponieważ zbiory są nieuporządkowane i nie istnieje -ty wektor zbioru. Co więcej liniowa niezależność definiowana jest wyłącznie jako własność zbioru; istotne jest więc, czy wektory są liniowo niezależne jako zbiór, czy jako rodzina.

Dla oraz zbiór złożony z wyłącznie jednego elementu jest liniowo niezależny, jednak rodzina zawierająca ten sam element dwukrotnie jest liniowo zależna.

Macierze

Jeżeli tekst zawiera następujące stwierdzenie:

Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy wiersze są liniowo niezależne;

to podobnie jak wyżej istotne jest, że wiersze są liniowo niezależne jako rodzina, a nie jako zbiór. Jeśli dana jest macierz

to zbiór jej wierszy składa się tylko z jednego elementu co oznacza, że jest on liniowo niezależny – mimo wszystko macierz nie jest odwracalna; z kolei rodzina wierszy zawiera dwa elementy, które są liniowo zależne. Tak wiec zdanie jest prawdziwe, gdy odnosi się do rodziny wierszy i fałszywe, gdy odnosi się do zbioru wierszy.

Działania[edytuj]

Ze zbiorów indeksowanych korzysta się często do zapisu sumowania i innych, podobnych działań. Przykładowo, jeżeli jest rodziną liczb, to sumę wszystkich tych liczb oznacza się symbolem

Sumę rodziny zbiorów oznacza się analogicznie:

Podobnie ma się rzecz z przekrojami i iloczynami kartezjańskimi.

Uogólnienia[edytuj]

 Osobny artykuł: diagram (teoria kategorii).

Analogiczny pomysł z teorii kategorii nazywa się diagramem: diagram to funktor uogólniający rodzinę indeksowaną obiektów kategorii indeksowany przez inną kategorię

Zobacz też[edytuj]

Literatura[edytuj]

Przypisy

  1. a b c d e Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 86-87