Rotacja lub wirowość – operator różniczkowy w teorii pola, który działając na pole wektorowe tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Oznaczana jest przez
lub
(z ang. rotacja), czasami również zapisywana jako
[1].
Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe ma potencjał (i odwrotnie: pole dla którego nie można określić potencjału jest polem wirowym).
Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla
i wektora

W sensie geometrii różniczkowej rotację pola wektorowego na trójwymiarowej rozmaitości zorientowanej z metryką definiuje się w sposób:

gdzie:

– tensor metryczny,
– zwężenie formy objętości
z rot(F).
W kartezjańskim układzie współrzędnych
mamy więc
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial y}}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial z}}\end{bmatrix}}\times F={\begin{bmatrix}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\\[.5em]{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\\[.5em]{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b49a2cb123bd67e2d6549952b018514e2bde5310)
- Notacja macierzowa
W notacji macierzowej rotację otrzymujemy jako wyznacznik macierzy:

gdzie
są wersorami osi
układu współrzędnych.
Całość rozpisujemy w następujący sposób:

W układzie współrzędnych walcowych[2]:

W układzie współrzędnych sferycznych[2]:
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (r,\varphi ,\theta )=\left[{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta F_{\varphi })-{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)\right]\mathbf {e} _{r}+\left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rF_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{r}}{\partial \theta }}\right]\mathbf {e} _{\varphi }+\left[{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}(rF_{\varphi })\right)\right]\mathbf {e} _{\theta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cec8bd5482879bf4e0082eb8e95bf161084e2d03)
W notacji Einsteina, z użyciem symbolu Leviego-Civity, jest zapisywana jako:

Oznaczając przez
pola wektorowe, przez
pole skalarne dla
zachodzą następujące własności:


- rotacja z pola wektorowego, które jest iloczynem pola skalarnego i wektorowego:


- rotacja z rotacji pola wektorowego


- każde pole o zerowej rotacji
można przedstawić jako gradient pola skalarnego (istnieje takie pole skalarne V, że
); zob. twierdzenie Helmholtza.
Curl (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].