Rotacja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy operatora różniczkowego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Rotacja lub wirowośćoperator różniczkowy działający na pole wektorowe tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Oznaczana jest przez lub (z ang. rotacja), czasami również zapisywana jako

Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe posiada potencjał (i odwrotnie: pole nie posiadające potencjału jest polem wirowym).

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla i wektora :

W sensie geometrii różniczkowej rotację pola wektorowego na trójwymiarowej rozmaitości zorientowanej z metryką definiuje się w sposób:

gdzie:

g – tensor metryczny,
– zwężenie formy objętości z rot(F).

Rotacja w układzie współrzędnych kartezjańskich[edytuj | edytuj kod]

W kartezjańskim układzie współrzędnych mamy więc

Notacja macierzowa

W notacji macierzowej rotację otrzymujemy jako wyznacznik macierzy:

gdzie wersorami osi układu współrzędnych.

Całość rozpisujemy w następujący sposób:

Rotacja w innych układach współrzędnych[edytuj | edytuj kod]

W układzie współrzędnych walcowych[1]:

W układzie współrzędnych sferycznych[1]:

Notacja Einsteina[edytuj | edytuj kod]

W notacji Einsteina, z użyciem symbolu Leviego-Civity, jest zapisywana jako:

Własności rotacji[edytuj | edytuj kod]

Oznaczając przez pola wektorowe, przez pole skalarne dla zachodzą następujące własności:

  • rotacja z pola wektorowego, które jest iloczynem pola skalarnego i wektorowego:
  • rotacja z rotacji pola wektorowego :
  • każde pole o zerowej rotacji można przedstawić jako gradient pola skalarnego (istnieje takie pole skalarne V, że ); zob. twierdzenie Helmholtza.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIX. Warszawa: PWN, 2002, s. 676–677. ISBN 83-01-11658-7.