Rotacja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy operatora różniczkowego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Rotacja lub wirowośćoperator różniczkowy działający na pole wektorowe , tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Oznaczana jest przez lub (z ang. rotacja), czasami również zapisywana jako .

Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe posiada potencjał (i odwrotnie: pole nie posiadające potencjału jest polem wirowym).

Definicja formalna[edytuj]

Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla i wektora :

.

W sensie geometrii różniczkowej rotację pola wektorowego na trójwymiarowej rozmaitości zorientowanej z metryką definiuje się w sposób:

gdzie:

g - tensor metryczny,
- zwężenie formy objętości z rot(F).

Rotacja w układzie współrzędnych kartezjańskich[edytuj]

W kartezjańskim układzie współrzędnych mamy więc

.
Notacja macierzowa

W notacji macierzowej rotację otrzymujemy jako wyznacznik macierzy:

,

gdzie wersorami osi układu współrzędnych.

Całość rozpisujemy w następujący sposób:

Rotacja w innych układach współrzędnych[edytuj]

W układzie współrzędnych walcowych[1]:

W układzie współrzędnych sferycznych[1]:

Notacja Einsteina[edytuj]

W notacji Einsteina, z użyciem symbolu Leviego-Civity, jest zapisywana jako:

Własności rotacji[edytuj]

Oznaczając przez pola wektorowe, przez pole skalarne dla zachodzą następujące własności:

,
,
  • rotacja z pola wektorowego, które jest iloczynem pola skalarnego i wektorowego:
,
,
  • rotacja z rotacji pola wektorowego :
.
  • każde pole o zerowej rotacji () można przedstawić jako gradient pola skalarnego (istnieje takie pole skalarne V, że ); zob. twierdzenie Helmholtza.

Przypisy

  1. a b I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIX. Warszawa: PWN, 2002, s. 676–677. ISBN 83-01-11658-7.