Przejdź do zawartości

Rotacja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Rotacja lub wirowośćoperator różniczkowy w teorii pola, który działając na pole wektorowe tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Oznaczana jest przez lub (z ang. rotacja), czasami również zapisywana jako [1].

Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe ma potencjał (i odwrotnie: pole dla którego nie można określić potencjału jest polem wirowym).

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla i wektora

W sensie geometrii różniczkowej rotację pola wektorowego na trójwymiarowej rozmaitości zorientowanej z metryką definiuje się w sposób:

gdzie:

– tensor metryczny,
– zwężenie formy objętości z rot(F).

Rotacja w układzie współrzędnych kartezjańskich[edytuj | edytuj kod]

W kartezjańskim układzie współrzędnych mamy więc

Notacja macierzowa

W notacji macierzowej rotację otrzymujemy jako wyznacznik macierzy:

gdzie wersorami osi układu współrzędnych.

Całość rozpisujemy w następujący sposób:

Rotacja w innych układach współrzędnych[edytuj | edytuj kod]

W układzie współrzędnych walcowych[2]:

W układzie współrzędnych sferycznych[2]:

Notacja Einsteina[edytuj | edytuj kod]

W notacji Einsteina, z użyciem symbolu Leviego-Civity, jest zapisywana jako:

Własności rotacji[edytuj | edytuj kod]

Oznaczając przez pola wektorowe, przez pole skalarne dla zachodzą następujące własności:

  • rotacja z pola wektorowego, które jest iloczynem pola skalarnego i wektorowego:
  • rotacja z rotacji pola wektorowego
  • każde pole o zerowej rotacji można przedstawić jako gradient pola skalarnego (istnieje takie pole skalarne V, że ); zob. twierdzenie Helmholtza.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. rotacja, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-02].
  2. a b I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIX. Warszawa: PWN, 2002, s. 676–677. ISBN 83-01-11658-7.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Curl (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].