Rozbicie zbioru

Podział zbioru na sześć części.

Rozbicie zbioru, podział zbioru a. partycja zbioru – rodzina $\{A_{t}\colon t\in T\}$ podzbiorów ustalonego zbioru $A,$ które spełniają następujące warunki^[1]:

podzbiory są niepuste,
$\forall _{t\in T}A_{t}\neq \varnothing ;$
podzbiory są parami rozłączne,
$A_{i}\neq A_{j}\implies A_{i}\cap A_{j}=\varnothing ;$
podzbiory sumują się do danego zbioru,
$A=\bigcup _{t\in T}A_{t}.$

Elementy podziału, czyli podzbiory $A_{t}$ wyżej zdefiniowanej rodziny, nazywa się niekiedy klasami rozbicia^[1].

Liczba sposobów podziału skończonego zbioru $n$ -elementowego wyraża się $n$ -tą liczbą Bella, $B_{n}.$ Jeśli nieskończony zbiór ma $\kappa$ elementów, to istnieje $2^{\kappa }$ możliwych podziałów tego zbioru. Innymi słowy, zbiór podziałów zbioru $Z$ jest równoliczny ze zbiorem potęgowym ${\mathcal {P}}(Z)$ zbioru $Z.$

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ jedynym podzbiorem zbioru pustego jest podzbiór pusty, to jedynie pusta rodzina zbiorów może być rozbiciem zbioru pustego. Niekiedy wyklucza się tę możliwość w definicji.

Podział zbioru jednoelementowego składa się jednego elementu: tego właśnie zbioru.

Istnieją dwa podziały zbioru $\{1,2\},$ mianowicie rodzina złożona ze zbioru $\{1,2\}$ (podział jednoelementowy) oraz rodzina składająca się ze zbiorów $\{1\},\{2\}$ (podział dwuelementowy).