Rozkład Choleskiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rozkład Choleskiego lub rozkład Banachiewicza[1] jest procedurą rozkładu symetrycznej, dodatnio określonej macierzy na iloczyn postaci:

gdzie jest dolną macierzą trójkątną[2], a jej transpozycją.

Macierz dowolnego typu można rozłożyć na iloczyn dolnej i górnej macierzy trójkątnej postaci stosując metodę LU. Jedynie w przypadku macierzy symetrycznych i dodatnio określonych możliwy jest rozkład Choleskiego[1]. Jeśli jest dodatnio określoną macierzą hermitowską to rozkład Choleskiego ma postać:

Algorytm rozkładu[edytuj]

Rozpisując iloczyn , otrzymujemy:

Współczynniki macierzy są zatem równe:

W ogólności[2]:

W zależności od tego czy kolejne elementy macierzy są wyznaczane wierszami czy kolumnami, powyższy algorytm nosi nazwę algorytmu Choleskiego-Banachiewicza lub algorytmu Choleskiego-Crouta. Ze względu na to, że jest dodatnio określona, wyrażenie pod pierwiastkiem jest zawsze dodatnie.

Zastosowanie[edytuj]

Podobnie jak rozkład LU, rozkład Choleskiego stosuje się w rozwiązywaniu równań liniowych. Stosuje się go również przy generowaniu wektorów losowych o wielowymiarowym rozkładzie normalnym.

Aby zastosować rozkład Choleskiego do rozwiązywania układów równań z niesymetryczną macierzą główną układu należy pomnożyć lewostronnie układ równań przez transpozycję macierzy głównej układu

Przypisy

Bibliografia[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]