Rozkład Panjera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Rozkład Panjera
Parametry
Nośnik
Wartość oczekiwana (średnia)
Wariancja
Odkrywca Harry H. Panjer

Rozkład Panjera (rozkład z klasy rozkładów Panjera) – dyskretny rozkład stosowany w matematyce ubezpieczeniowej do opisu liczby szkód w modelu ryzyka łącznego.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Rozkłady Panjera określone są wzorem rekurencyjnym:

gdzie

Wartość wynika z zależności.

Opis klasy rozkładów Panjera[edytuj | edytuj kod]

Rozkłady Panjera to rozkłady spełniających założenia wzoru Panjera w jego podstawowej formie (tzn. przy ).

Rozkładami należącymi do klasy rozkładów Panjera są (w nawiasie podano zakresy wartości występujących w założeniu parametrów i ):

  • rozkład Poissona (gdy ),
  • rozkład dwumianowy (gdy ),
  • rozkład ujemny dwumianowy (gdy ),
  • rozkład zdegenerowany (gdy ).
Rozkład
dwumianowy
Poissona
ujemny dwumianowy
Klasa rozkładów Panjera.svg

Można wykazać[1], że nie istnieją rozkłady spełniające założenia wzoru Panjera dla których:

Zachodzi ponadto:

oraz

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

W 1981 roku Bjørn Sundt i William S. Jewell uogólnili wzór Panjera wprowadzając parametr określający wyraz ciągu począwszy od którego wszystkie kolejne wyrazy spełniają założenia wzoru Panjera. Wcześniejsze wyrazy są dowolne[1]. Powstała tym samym szersza klasa rozkładów nazywaną klasą Sundta-Jewella[2].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b B. Sundt, W.S. Jewell, Further results on recursive evaluation of compound distributions [PDF], „ASTIN Bulletin”, 1, 12, International Actuarial Association, 1981, s. 27–39 (ang.).???
  2. Harry H. Panjer. Sundt and Jewell Class of Distributions. „Encyclopedia of Actuarial Science”, 2006-09-15. John Wiley & Sons, Ltd.. DOI: 10.1002/9780470012505.tas040 (ang.). 

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Wojciech Otto: Ubezpieczenia majątkowe. Wyd. 1. Cz. I: Teoria ryzyka. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2004, seria: Matematyka w ubezpieczeniach. ISBN 83-204-2887-4. (pol.)