Rozkład Studenta

Rozkład Studenta, rozkład t Studenta

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	$\nu >0$ liczba stopni swobody (liczba rzeczywista)
Nośnik	$x\in (-\infty ;+\infty )$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-({\frac {\nu +1}{2}})}$
Dystrybuanta	${\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}+x{\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}\times \\&\qquad {}_{2}F_{1}\!\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right),\end{aligned}}$ gdzie $_{2}F_{1}$ jest funkcją hipergeometryczną
Wartość oczekiwana (średnia)	$0{\text{ dla }}\nu >1$, w przeciwnym wypadku nie istnieje
Mediana	$0$
Moda	$0$
Wariancja	${\frac {\nu }{\nu -2}}{\text{ dla }}\nu >2$, w przeciwnym wypadku nie istnieje
Współczynnik skośności	$0{\text{ dla }}\nu >3$
Kurtoza nadwyżkowa (eksces)	${\frac {6}{\nu -4}}{\text{ dla }}\nu >4$
Entropia	${\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+\nu }{2}})-\psi ({\frac {\nu }{2}})\right]\\[0.5em]+\ln {\left[{\sqrt {\nu }}B({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}})\right]}\end{matrix}}$ $\psi {:}$ funkcja digamma $B{:}$ funkcja beta
Funkcja tworząca momenty	(nieokreślona)
Odkrywca	William Sealy Gosset (1908)

Rozkład Studenta, rozkład t Studenta, rozkład t – ciągły rozkład prawdopodobieństwa stosowany często w statystyce w procedurach testowania hipotez statystycznych i przy ocenie niepewności pomiaru. Przy opracowaniu wyników pomiarów często powstaje zagadnienie oszacowania przedziału, w którym leży, z określonym prawdopodobieństwem, rzeczywista wartość mierzona, jeśli dysponuje się tylko wynikami $n$ pomiarów, dla których można wyznaczyć takie parametry, jak średnia ${\overline {X}}$ i odchylenie standardowe z próby $s$, nieznane są natomiast średnia $\mu$ oraz odchylenie standardowe $\sigma$ populacji.

Zagadnienie to rozwiązał w 1908 r. William Sealy Gosset (pseudonim Student), podając funkcję gęstości prawdopodobieństwa $f_{\nu }$ zależną od liczby stopni swobody $\nu$, równej liczbie pomiarów pomniejszanej o 1, $\nu =n-1$, a niezależnej od $\sigma$.

Definicja

Rozkład Studenta z $\nu$ stopniami swobody jest rozkładem zmiennej losowej $T$ postaci:

$T={\frac {U}{\sqrt {Z}}}{\sqrt {\nu }}$

gdzie:

• $U$ – zmienna losową mająca standardowy rozkład normalny $N(0,1)$
• $Z$ – zmienna losowa o rozkładzie chi kwadrat o $\nu$ stopniach swobody
• $U$ i $Z$ – niezależne zmienne losowe

Gęstość prawdopodobieństwa

Zmienna losowa $T$ określona powyżej ma gęstość prawdopodobieństwa opisaną wzorem:

$f_{\nu }(t)={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\nu \pi }}}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}$

gdzie:

• $\Gamma (x)$ – funkcja gamma
• $t\in (-\infty ,+\infty )$

Własności

Rozkłady Studenta $f_{\nu }(t)$ mają następujące własności:

• są symetryczne i jednomodalne (tzn. mają jedno maksimum)
• dla dużych wartości $\nu$ zmierzają do standardowego rozkładu normalnego $N(0,1)$
• dla małych wartości $\nu$ różnią się od rozkładu normalnego: rozkład Studenta o $\nu$ stopniach swobody ma skończone momenty tylko do rzędu $\nu -1$ (licząc momenty rzędu $\nu$ i wyższego rzędu uzyskuje się nieskończoności)
• w szczególności dla $\nu =1$ rozkład Studenta jest identyczny z rozkładem Cauchy’ego i nie posiada żadnych skończonych momentów

Własności te ilustruje wykres u góry artykułu, przedstawiający gęstości rozkładu Studenta dla kilku wartości liczby stopni swobody $\nu$; standardowemu rozkładowi normalnemu $N(0,1)$ odpowiada rozkład z $\nu =+\infty$.

Twierdzenia

Tw. 1. Niech $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie normalnym $N(\mu ,\sigma ^{2})$ o średniej $\mu$ i wariancji $\sigma ^{2},$ oraz niech zmienna losowa $t$ będzie określona wzorem

$t={\frac {{\overline {X}}-m}{S}}\cdot {\sqrt {n-1}}$

gdzie:

• ${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}X_{k}$ – średnia z próby
• $S={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{(X_{k}-{\overline {X}})^{2}}}}$ – odchylenie standardowe z próby
• $n$ – liczebność próby, pobranej z populacji (liczba obserwacji)

Wówczas zmienna $t$ ma rozkład Studenta $f_{\nu }(t)$ o $\nu =n-1$ stopniach swobody.

Użyteczność tego rozkładu wynika stąd, że jest on niezależny od wartości wariancji w populacji $\sigma ^{2}$, może więc służyć do np. do weryfikowania hipotez statystycznych w przypadku, gdy nie jest znane $\sigma ^{2}$.

Tw. 2. Jeżeli dwie próby o liczebnościach $n_{1}$ oraz $n_{2},$ wartościach średnich ${\overline {X}}_{1}$ oraz ${\overline {X}}_{2}$ i wariancjach wyznaczonych z próby $s_{1}^{2}$ oraz $s_{2}^{2}$ zostały wylosowane z populacji mających taki sam rozkład normalny, to zmienna $t$ określona wzorem

$t={\frac {{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}}{\sqrt {n_{1}s_{1}^{2}+n_{2}s_{2}^{2}}}}{\sqrt {{\frac {n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}(n_{1}+n_{2}-2)}}$

ma rozkład Studenta o $\nu =n_{1}+n_{2}-2$ stopniach swobody.

Zastosowania

Zastosowania rozkładu Studenta w metrologii i statystyce opierają się w większości na powyżej podanych dwóch twierdzeniach. Rozkład t jest stosowany w estymacji przedziałowej, w testach parametrycznych, w szczególności dla wartości średnich (test t Studenta, test t Welcha), w testach istotności parametrów statystycznych – zwłaszcza gdy mamy do czynienia z małymi próbami (najczęściej przyjmuje się, że próba jest mała gdy jej liczebność $n\leqslant 30$; dla dużych prób, $n>30$, rozkład Studenta prawie dokładnie pokrywa się z rozkładem normalnym, można więc stosować rozkład normalny w obliczeniach).

W metrologii rozkład Studenta wykorzystywany jest m.in. przy estymacji wartości oczekiwanej i wartości odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru oraz serii $n$ pomiarów. Np. estymator odchylenia standardowego s należy pomnożyć przez wartość krytyczną rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody $\nu =n-1$ i przyjętego poziomu istotności $\alpha .$ W zastosowaniach najczęściej potrzebne są kwantyle rozkładu Studenta, tj. takie wartości $t_{\alpha },$ że $P(t>t_{\alpha })=\alpha$ lub $P(|t|<t_{\alpha })=\alpha .$

Wartości te podają tablice rozkładu Studenta.

Wyprowadzenie wzoru na gęstość prawdopodobieństwa

Funkcję gęstości prawdopodobieństwa można wyprowadzić z definicji. Dowód podaje np. Kubik.

Dowód

Niech $U$ i $Z$ będą takie jak wyżej. Zmienna $Y={\sqrt {Z}}$ ma rozkład chi o $\nu$ stopniach swobody, a więc gęstość $Y$ wyraża się wzorem

$f_{Y}(y)={\frac {2^{1-{\frac {\nu }{2}}}y^{\nu -1}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}.$

Rozważmy zmienną

$X={\frac {1}{\sqrt {\nu }}}Y.$

Wówczas

${\frac {\partial Y}{\partial X}}={\sqrt {\nu }}$

Wykonujemy całkowanie przez podstawienie

${\begin{aligned}f_{X}(x)&=f_{Y}({\sqrt {\nu }}x){\Big |}{\frac {\partial Y}{\partial X}}{\Big |}\\&={\frac {2^{1-{\frac {\nu }{2}}}}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}({\sqrt {\nu }}x)^{\nu -1}e^{-{\frac {({\sqrt {\nu }}x)^{2}}{2}}}{\sqrt {\nu }}\\&={\frac {2^{1-{\frac {\nu }{2}}}}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\nu ^{\frac {\nu }{2}}x^{\nu -1}e^{-{\frac {\nu }{2}}x^{2}}.\end{aligned}}$

Zmienna $T$ ma zatem rozkład $U/X.$ Jej gęstość jest więc postaci

${\begin{aligned}f_{T}(t)&=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x|f_{U}(xt)f_{X}(x)\,\mathrm {d} x=\int \limits _{0}^{\infty }xf_{U}(xt)f_{X}(x)\,\mathrm {d} x\\&=\int \limits _{0}^{\infty }x{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {(xt)^{2}}{2}}}{\frac {2^{1-{\frac {\nu }{2}}}}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\nu ^{\frac {\nu }{2}}x^{\nu -1}e^{-{\frac {\nu }{2}}x^{2}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {\nu ^{\frac {\nu }{2}}}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {2^{1-{\frac {\nu }{2}}}}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\int \limits _{0}^{\infty }x^{\nu }e^{-{\frac {1}{2}}(\nu +t^{2})x^{2}}\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}$

Niech $m=x^{2}.$ Wówczas powyższa całka przyjmuje postać

$\int \limits _{0}^{\infty }x^{\nu }e^{-{\frac {1}{2}}(\nu +t^{2})m}{\frac {\mathrm {d} m}{2x}}={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }m^{\frac {\nu -1}{2}}e^{-{\frac {1}{2}}(\nu +t^{2})m}\mathrm {d} m\qquad (*).$

Gęstość $f(m;k,\theta )$ rozkładu gamma wyraża się wzorem

$f(m;k,\theta )={\frac {m^{k-1}e^{-{\frac {m}{\theta }}}}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}.$

Oznacza to, że

$k-1={\frac {\nu -1}{2}}\Rightarrow k^{*}={\frac {\nu +1}{2}},\qquad {\frac {1}{\theta }}={\frac {1}{2}}(\nu +t^{2})\Rightarrow \theta ^{*}={\frac {2}{(\nu +t^{2})}}$

a stąd

$(*)={\frac {1}{2}}(\theta ^{*})^{k^{*}}\Gamma (k^{*})={\frac {1}{2}}{\Big (}{\frac {2}{\nu +t^{2}}}{\Big )}^{\frac {\nu +1}{2}}\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)=2^{\frac {\nu -1}{2}}\nu ^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {1}{2}}(\nu +1)}.$

Ostatecznie

$f_{T}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {2^{1-{\frac {\nu }{2}}}}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\nu ^{\frac {\nu }{2}}2^{\frac {\nu -1}{2}}\nu ^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {1}{2}}(\nu +1)}={\frac {\Gamma [(\nu +1)/2]}{{\sqrt {\nu \pi }}\Gamma (\nu /2)}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {1}{2}}(\nu +1)}.$

Zobacz też

• test t Studenta
• przedział ufności

Bibliografia

• Gajek Lesław, Kałuszka Marek, Wnioskowanie statystyczne Modele i metody, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1993, str. 42–43 (rozkład t Studenta), str. 90–91 (test t Studenta jednej średniej) , str. 99–100 (test t Studenta równości średnich).
• Lech T. Kubik, Andrzej Krupowicz, Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa i jego zastosowań, Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, str. 180–183 (rozkład Studenta).
• Zieliński R., Tablice statystyczne, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1972.

Linki zewnętrzne

• VassarStats. vassarstats.net. [zarchiwizowane z tego adresu (2016-03-04)]. Wykresy gęstości, wartości krytyczne i in. obliczane dla podanej przez użytkownika liczby stopni swobody.
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S). [dostęp 2009-05-27]. (ang.). (O historii terminu „Rozkład Studenta”)
• Distribution Calculator Kalkulator obliczający prawdopodobieństwa i wartości krytyczne dla rozkładu normalnego, Studenta, chi-kwadrat oraz F
• Kalkulator rozkładu – polski kalkulator online szacujący wartość statystyki t Studenta dla zadanej liczby stopni swobody
• Tablice podstawowych rozkładów rachunku prawdopodobieństwa
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Student's t-Distribution, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2025-12-13].