Rozkład Studenta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Rozkład t-Studenta
Gęstość prawdopodobieństwa
Rozkład t-Studenta
Dystrybuanta
Rozkład t-Studenta
Parametry stopni swobody (liczba rzeczywista)
Nośnik
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
gdzie jest funkcją hipergeometryczną
Wartość oczekiwana (średnia) w przeciwnym wypadku nieokreślona
Mediana
Moda
Wariancja w przeciwnym wypadku nieokreślona
Współczynnik skośności
Kurtoza
Entropia
Funkcja tworząca momenty (nieokreślona)
Odkrywca William Sealy Gosset (1908)

Rozkład Studenta (rozkład t lub rozkład t-Studenta) – ciągły rozkład prawdopodobieństwa stosowany często w statystyce w procedurach testowania hipotez statystycznych i przy ocenie niepewności pomiaru. Przy opracowaniu wyników pomiarów często powstaje zagadnienie oszacowania przedziału, w którym leży, z określonym prawdopodobieństwem, rzeczywista wartość mierzona, jeśli dysponujemy tylko wynikami n pomiarów, dla których możemy wyznaczyć takie parametry, jak średnia i odchylenie standardowe lub wariancja („z próby”), nie znamy natomiast odchylenia standardowego w populacji. Zagadnienie to rozwiązał w 1908 r. William Sealy Gosset (pseudonim Student) podając funkcję zależną od wyników pomiarów a niezależną od

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Rozkład Studenta z stopniami swobody jest rozkładem zmiennej losowej postaci:

gdzie:

  • jest zmienną losową mającą standardowy rozkład normalny
  • jest zmienną losową o rozkładzie chi kwadrat o stopniach swobody,
  • i niezależne.

Gęstość prawdopodobieństwa[edytuj | edytuj kod]

Zmienna losowa określona powyżej ma gęstość prawdopodobieństwa opisaną wzorem:

gdzie to funkcja gamma.

Dowód. Niech i będą takie jak wyżej. Zmienna ma rozkład chi o stopniach swobody, a więc gęstość wyraża się wzorem

Rozważmy zmienną

Wówczas

a zatem całkując przez podstawienie and obserwujemy, że

Zmienna ma zatem rozkład Jej gęstość jest więc postaci

Niech Wówczas powyższa całka przyjmuje postać

Gęstość rozkładu Gamma wyraża się wzorem

Oznacza to, że

a stąd

Ostatecznie

Własności[edytuj | edytuj kod]

Powyższy wzór określa całą rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa zależną od parametru – liczby stopni swobody rozkładu Studenta. Rozkłady te są symetryczne, jednomodalne, dla dużych wartości zmierzają do standardowego rozkładu normalnego Dla małych różnią się jednak od rozkładu normalnego: rozkład Studenta o stopniach swobody ma skończone momenty tylko do rzędu w szczególności dla rozkład Studenta jest identyczny z rozkładem Cauchy’ego i nie posiada żadnych skończonych momentów (nie istnieje nawet wartość średnia).

Własności te ilustruje poniższy wykres przedstawiający gęstości rozkładu Studenta dla kilku wartości liczby stopni swobody w zestawieniu z gęstością standardowego rozkładu normalnego

rozkłady Studenta porównane z rozkładem normalnym

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Zastosowania rozkładu Studenta w metrologii i statystyce opierają się w większości na następujących dwóch twierdzeniach:

  1. Niech zmienne losowe mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa, który jest rozkładem normalnym o średniej i wariancji oraz niech zmienna będzie określona wzorem:
    gdzie jest wartością średnią z próby, zaś odchyleniem standardowym z próby.
    Wówczas zmienna ma rozkład t-Studenta o stopniach swobody (niezależny od wartości wariancji w populacji ).
  2. Jeżeli dwie próby o liczebnościach oraz wartościach średnich oraz i wariancjach wyznaczonych z próby oraz zostały wylosowane z populacji mających taki sam rozkład normalny, to zmienna określona wzorem:
    ma rozkład t-Studenta o stopniach swobody.

Rozkład t jest stosowany w estymacji przedziałowej, w testach parametrycznych, w szczególności dla wartości średnich i dla wariancji oraz w testach istotności parametrów statystycznych – gdy mamy do czynienia z próbami małymi (najczęściej arbitralnie przyjmuje się, że próba jest mała gdy jej liczebność ).

W metrologii rozkład Studenta wykorzystywany jest m.in. przy estymacji odchylenia standardowego (dla pojedynczego pomiaru oraz wartości oczekiwanej). Dla dużych prób (n > 30) praktycznie pokrywa się z rozkładem normalnym, dla mniejszych estymator odchylenia należy pomnożyć przez wartość krytyczną rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody i przyjętego poziomu istotności

Najczęściej potrzebne są w zastosowaniach kwantyle rozkładu Studenta, to znaczy takie wartości że lub Wartości te podają tablice rozkładu t-Studenta.



Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Zieliński R., Tablice statystyczne, PWN, Warszawa 1972.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]