Rozkład Weibulla

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Rozkład Weibulla (dwuparametrowy)
Gęstość prawdopodobieństwa
brak wykresu
Dystrybuanta
brak wykresu
Parametry \lambda>0\, parametr skali (liczba rzeczywista)
k>0\, parametr kształtu (liczba rzeczywista)
Nośnik x \in [0; +\infty)\,
Gęstość prawdopodobieństwa (k/\lambda) (x/\lambda)^{(k-1)} e^{-(x/\lambda)^k}
Dystrybuanta 1- e^{-(x/\lambda)^k}
Wartość oczekiwana (średnia) \lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,
Mediana \lambda\ln(2)^{1/k}\,
Moda \lambda \left(\frac{k-1}{k} \right)^{\frac{1}{k}}\, dla k>1
Wariancja \lambda^2\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \mu^2\,
Współczynnik skośności \frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}
Kurtoza \tfrac{-6\Gamma_1^4+12\Gamma_1^2\Gamma_2-3\Gamma_2^2
-4\Gamma_1\Gamma_3+\Gamma_4}{[\Gamma_2-\Gamma_1^2]^2}
Entropia \gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\ln\left(\frac{\lambda}{k}\right)+1
Funkcja generująca momenty
Funkcja charakterystyczna
Odkrywca Waloddi Weibull (1939, 1951)

Rozkład Weibullaciągły rozkład prawdopodobieństwa często stosowany w analizie przeżycia do modelowania sytuacji, gdy prawdopodobieństwo śmierci/awarii zmienia się w czasie.

Może on w zależności od parametrów przypominać zarówno rozkład normalny (dla k=3.4) , jak i rozkład wykładniczy (sprowadza się do niego dla k=1).

Parametr k rozkładu określa zachowanie prawdopodobieństwa awarii (śmierci) w czasie:

  • dla k<1 prawdopodobieństwo awarii (śmierci) maleje z czasem. W przypadku modelowania awarii urządzenia sugeruje to, że egzemplarze mogą posiadać wady fabryczne i powoli wypadają z populacji.
  • dla k=1 (rozkład wykładniczy) prawdopodobieństwo jest stałe. Sugeruje to, że awarie mają charakter zewnętrznych zdarzeń losowych.
  • dla k=2 (rozkład Rayleigha) prawdopodobieństwo rośnie liniowo z czasem.
  • dla k>1 prawdopodobieństwo rośnie z czasem. Sugeruje to zużycie części z upływem czasu jako główną przyczynę awaryjności.

Parametr \lambda można zinterpretować jako czas po którym zginie 1-\frac{1}{e}\approx 63,2% osobników (porównaj wartość charakterystyczna przeżycia).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Rozkład po raz pierwszy wprowadzony w pracy:
Waloddi Weibull. A statistical distribution function of wide applicability. „J. Appl. Mech.-Trans. ASME”. 18(3), s. 293-297, 1951.