Rozkład chi kwadrat

Rozkład chi kwadrat

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta Kolory odpowiadają wykresowi powyżej
Parametry	$k>0$ stopni swobody
Nośnik	$x\in [0;+\infty )$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}$
Dystrybuanta	${\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}$
Wartość oczekiwana (średnia)	$k$
Mediana	około $k-2/3$
Moda	$k-2\,{\mbox{ dla }}k\geqslant 2$
Wariancja	$2\,k$
Współczynnik skośności	${\sqrt {8/k}}$
Kurtoza nadwyżkowa (eksces)	$12/k$
Entropia	${\frac {k}{2}}\!+\!\ln(2\Gamma (k/2))+{}$ ${}+(1\!-\!k/2)\psi (k/2)$
Funkcja tworząca momenty	$(1-2\,t)^{-k/2}{\mbox{ dla }}2\,t<1$
Funkcja charakterystyczna	$(1-2\,i\,t)^{-k/2}$
Odkrywca	Ronald Fisher

Rozkład chi-kwadrat o $k$ stopniach swobody, $\chi _{k}^{2}$ – rozkład zmiennej losowej $X$, która jest sumą $k$ kwadratów niezależnych zmiennych losowych $Z_{i},i=1,2,\dots ,k$, każda o standardowym rozkładzie normalnym, tj. $Z_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ oraz

$X=\sum _{i=1}^{k}(Z_{i})^{2}$

Liczbę naturalną $k$ nazywa się liczbą stopni swobody rozkładu zmiennej losowej.

W szczególności:

(1) Rozkład chi-kwadrat z 1 stopniem swobody, $\chi _{1}^{2},$ jest rozkładem zmiennej losowej

$X=Z^{2}$

gdzie $Z$ – zmienna losowa o standardowym rozkładzie normalnym, tj. $Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ .

(2) Rozkład chi-kwadrat z 2 stopniami swobody, $\chi _{2}^{2}$​, jest rozkładem zmiennej losowej

$X=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}$

gdzie $Z_{1},Z_{2}$ – zmienne losowe o standardowych rozkładach normalnych, tj. $Z_{1}\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ oraz $Z_{2}\sim {\mathcal {N}}(0,1)$.

Rozkład chi-kwadrat ma duże znaczenie w statystyce, między innymi w teście chi-kwadrat, który wziął od niego swoją nazwę.

Oznaczenia

Jeżeli zmienna losowa $X$ ma rozkład chi-kwadrat o $k$ stopniach swobody, to piszemy

$X\sim \chi _{k}^{2}$

lub

$X\sim \chi ^{2}(k)$

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu chi-kwadrat ma postać

$f(x;\,k)={\begin{cases}{\dfrac {1}{2^{k/2}\,\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}}}x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-x/2},&x>0\\0&{x\leqslant 0,}\end{cases}}$

gdzie ${\textstyle \Gamma }$ – funkcja gamma.

Ponieważ parametr $k$ jest liczbą naturalną, więc wartości ${\textstyle \Gamma \left({\tfrac {k}{2}}\right)}$ można stosunkowo łatwo obliczyć (gdyby $k$ było dowolną liczbą rzeczywistą, obliczenie funkcji gamma wymagałoby całkowania).

Czynnik ${\tfrac {1}{2^{k/2}\,\Gamma {\left({\tfrac {k}{2}}\right)}}}$ w powyższym wzorze jest dla danego $k$ stałą liczbą – pełni rolę czynnika normalizującego, tak by całka z funkcji gęstości była równa ${\textstyle 1}$.

Właściwości rozkładu chi-kwadrat

Wartość oczekiwana:

$\mathbb {E} [X]=k$

Wariancja:

$\operatorname {Var} (X)=2k$

Kształt:

• Dla małych $k$ rozkład jest mocno skośny prawostronnie.
• Dla dużych $k$ rozkład przypomina rozkład normalny (wynika to z centralnego twierdzenia granicznego).

Wyjaśnienie intuicyjne

Rozważmy niezależne zmienne losowe o standardowym rozkładzie normalnym $Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{k}\sim {\mathcal {N}}(0,1)$. Możemy je traktować jako współrzędne losowego punktu w przestrzeni $\mathbb {R} ^{k}$: $(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{k})$. Rozkład nie faworyzuje żadnego kierunku — wszystkie kierunki są równie prawdopodobne. Z tego powodu jedyną istotną informacją o położeniu punktu jest jego odległość od początku układu współrzędnych, a nie konkretny kierunek.

Odległość euklidesowa punktu $(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{k})$ od zera dana jest wzorem $\lVert Z\rVert ={\sqrt {Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+\dots +Z_{k}^{2}}}.$

Jej kwadrat wynosi $\lVert Z\rVert ^{2}=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+\dots +Z_{k}^{2}.$

Właśnie ta wielkość jest kluczowa: zmienna losowa $X=||Z||^{2}=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+\dots +Z_{k}^{2}$ opisuje kwadrat odległości losowego punktu normalnego od zera.

Rozkład chi-kwadrat z $k$ stopniami swobody, $\chi _{k}^{2}$, jest rozkładem tej zmiennej losowej: mówi on, z jakim prawdopodobieństwem losowy punkt w $\mathbb {R} ^{k}$ znajduje się w określonej odległości (ściślej: kwadracie odległości) od środka układu współrzędnych.

W szczególnym przypadku jednowymiarowym, gdy $Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$, zmienna losowa $X=Z^{2}$ ma rozkład chi-kwadrat z jednym stopniem swobody, czyli $\chi _{1}^{2}$. Dla większej liczby wymiarów suma kwadratów kolejnych współrzędnych zwiększa przeciętną wartość zmiennej $X$, co odpowiada wzrostowi liczby stopni swobody w rozkładzie chi-kwadrat.

Bibliografia

• Lech. T. Kubik, Andrzej Krupowicz, Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa i jego zastosowań, Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, str. 176-177.
• G. A. Korn, T. M. Korn, Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów, cz. 2, PWN, Warszawa 1983, str. 512 (Tablica F.17. Rozkład $\chi ^{2}$)

Linki zewnętrzne

• Tablice rozkładów chi-kwadrat są w Wikiźródłach.

• Chi-squared distribution (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].