Rozkład geometryczny
| ||
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa![]() | ||
Dystrybuanta![]() | ||
Parametry | prawdopodobieństwo sukcesu (liczba rzeczywista) | |
Nośnik | ||
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa | ||
Dystrybuanta | ||
Wartość oczekiwana (średnia) | ||
Mediana | niejednoznaczna gdy | |
Moda | ||
Wariancja | ||
Współczynnik skośności | ||
Kurtoza | ||
Entropia | ||
Funkcja tworząca momenty | ||
Funkcja charakterystyczna | ||
Odkrywca | William Feller (1950) |
Rozkład geometryczny – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący prawdopodobieństwo zdarzenia, że proces Bernoulliego odniesie pierwszy sukces dokładnie w -tej próbie. musi być liczbą naturalną dodatnią. Rozkład ten oznacza się zwykle symbolem Geo(p).
Zmienna losowa X ma więc rozkład Geo(p) jeśli
Zauważmy, że jeśli X ma rozkład Geo(p), to Zatem jej dystrybuanta jest zadana wzorem dla liczb naturalnych k.
Uwaga: Niekiedy zamiast badać w której próbie odniesiemy pierwszy sukces, badamy ile prób z rzędu kończy się porażką. Wówczas tak zdefiniowane jest o jeden mniejsze, więc we wszystkich wzorach należy dodać do niego 1.
Rozkład geometryczny to szczególny przypadek ujemnego rozkładu dwumianowego dla
Ciągłym odpowiednikiem rozkładu geometrycznego jest rozkład wykładniczy.
Momenty[edytuj | edytuj kod]
Funkcja tworząca prawdopodobieństwo zmiennej losowej X o rozkładzie Geo(p) jest zadana wzorem
Z tego otrzymujemy
oraz
z czego otrzymujemy
Wyższe momenty główne rozkładów Geo(p) mogą być wyznaczone za pomocą funkcji generującej momenty. Spełniają one następującą zależność rekurencyjną:
Momenty centalne rozkładów Geo(p) mogą być wyznaczone za pomocą funkcji generującej momenty centralne. Spełniają one następującą zależność rekurencyjną:
Inne własności[edytuj | edytuj kod]
Rozkład geometryczny jest bezpamięciowym: jeśli ma rozkład Geo(p) i są liczbami naturalnymi, to
Związki z innymi rozkładami[edytuj | edytuj kod]
- Jeśli są niezależne i mają rozkład Geo(p), to ich suma ma ujemny rozkład dwumianowy NB(r,p)
- Jeśli są niezależne i mają rozkład Geo(p) to zmienna losowa ma rozkład geometryczny z parametrem
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
|