Rozkład geometryczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Rozkład geometryczny
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
Rozkład geometryczny
Dystrybuanta
Rozkład geometryczny
Parametry
prawdopodobieństwo sukcesu (liczba rzeczywista)
Nośnik
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Wartość oczekiwana (średnia)
Mediana
niejednoznaczna gdy
Moda
Wariancja
Współczynnik skośności
Kurtoza
Entropia
Funkcja tworząca momenty
Funkcja charakterystyczna
Odkrywca William Feller (1950)

Rozkład geometryczny – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący prawdopodobieństwo zdarzenia, że proces Bernoulliego odniesie pierwszy sukces dokładnie w k-tej próbie. k musi być liczbą naturalną dodatnią. Rozkład ten oznacza się zwykle symbolem Geo(p).

Zmienna losowa X ma więc rozkład Geo(p) jeśli

Zauważmy, że jeśli X ma rozkład Geo(p), to . Zatem jej dystrybuanta jest zadana wzorem dla liczb naturalnych k.

Uwaga: Niekiedy zamiast badać w której próbie odniesiemy pierwszy sukces, badamy ile prób z rzędu kończy się porażką. Wówczas tak zdefiniowane k jest o jeden mniejsze, więc we wszystkich wzorach należy dodać do niego 1.

Rozkład geometryczny to szczególny przypadek ujemnego rozkładu dwumianowego dla r = 1.

Ciągłym odpowiednikiem rozkładu geometrycznego jest rozkład wykładniczy.

Momenty[edytuj]

Funkcja tworząca prawdopodobieństwo zmiennej losowej X o rozkładzie Geo(p) jest zadana wzorem

Z tego otrzymujemy

oraz

z czego otrzymujemy

Wyższe momenty główne rozkładów Geo(p) mogą być wyznaczone za pomocą funkcji generującej momenty. Spełniają one następującą zależność rekurencyjną:

Momenty centalne rozkładów Geo(p) mogą być wyznaczone za pomocą funkcji generującej momenty centralne. Spełniają one następującą zależność rekurencyjną:

Inne własności[edytuj]

Rozkład geometryczny jest bezpamięciowym: jeśli X ma rozkład Geo(p) i k, l są liczbami naturalnymi, to

Związki z innymi rozkładami[edytuj]

  1. Jeśli są niezależne i mają rozkład Geo(p), to ich suma ma ujemny rozkład dwumianowy NB(r,p)
  2. Jeśli są niezależne i mają rozkład Geo(p) to zmienna losowa ma rozkład geometryczny z parametrem

Zobacz też[edytuj]