Rozkład geometryczny

Rozkład geometryczny
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	$0<p\leq 1$$0< p \leq 1$ prawdopodobieństwo sukcesu (liczba rzeczywista)
Nośnik	$k\in \{1,2,3,\dots \}\!$$k \in \{1,2,3,\dots\}\!$
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa	$(1-p)^{k-1}\,p\!$$(1 - p)^{k-1}\,p\!$
Dystrybuanta	$1-(1-p)^{k}\!$$1-(1 - p)^k\!$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\frac {1}{p}}\!$$\frac{1}{p}\!$
Mediana	$\left\lceil {\frac {-\log(2)}{\log(1-p)}}\right\rceil \!$$\left\lceil \frac{-\log(2)}{\log(1-p)} \right\rceil\!$ niejednoznaczna gdy $-\log(2)/\log(1-p)\in \mathbb {Z}$$-\log(2)/\log(1-p)\in\mathbb{Z}$
Moda	$1\;$$1\;$
Wariancja	${\frac {1-p}{p^{2}}}\!$$\frac{1-p}{p^2}\!$
Współczynnik skośności	${\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}\!$$\frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\!$
Kurtoza	$6+{\frac {p^{2}}{1-p}}\!$$6+\frac{p^2}{1-p}\!$
Entropia	$-{\frac {1-p}{p}}\log _{2}(1-p)-\log _{2}p\!$$-\frac{1-p}{p}\log_2(1-p)-\log_2 p\!$
Funkcja tworząca momenty	${\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}\!$$\frac{pe^t}{1-(1-p) e^t}\!$
Funkcja charakterystyczna	${\frac {pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}}\!$$\frac{pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}\!$
Odkrywca	William Feller (1950)

Rozkład geometryczny – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący prawdopodobieństwo zdarzenia, że proces Bernoulliego odniesie pierwszy sukces dokładnie w k-tej próbie. k musi być liczbą naturalną dodatnią. Rozkład ten oznacza się zwykle symbolem Geo(p).

Zmienna losowa X ma więc rozkład Geo(p) jeśli

$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\,$$P(X=k) = (1-p)^{k-1} p \,$

Zauważmy, że jeśli X ma rozkład Geo(p), to $P(X>k)=(1-p)^{k}$$P(X>k)=(1-p)^k$. Zatem jej dystrybuanta jest zadana wzorem $F_{X}(k)=P(X\leq k)=1-(1-p)^{k}$$F_X(k) = P(X\leq k) = 1 - (1-p)^k$ dla liczb naturalnych k.

Uwaga: Niekiedy zamiast badać w której próbie odniesiemy pierwszy sukces, badamy ile prób z rzędu kończy się porażką. Wówczas tak zdefiniowane k jest o jeden mniejsze, więc we wszystkich wzorach należy dodać do niego 1.

Rozkład geometryczny to szczególny przypadek ujemnego rozkładu dwumianowego dla r = 1.

Ciągłym odpowiednikiem rozkładu geometrycznego jest rozkład wykładniczy.

Momenty

Funkcja tworząca prawdopodobieństwo zmiennej losowej X o rozkładzie Geo(p) jest zadana wzorem

$f(t)=\sum _{k=1}^{\infty }t^{k}(1-p)^{k-1}p={\frac {pt}{1-(1-p)t}}$$f(t) = \sum_{k=1}^{\infty} t^k (1-p)^{k-1}p = \frac{p t}{1-(1-p)t}$

Z tego otrzymujemy

$\mathrm {E} (X)=f'(1)={\frac {p}{(1-(1-p)t)^{2}}}|_{t=1}={\frac {1}{p}}$$\mathrm{E}(X) = f'(1) = \frac{p}{(1-(1-p)t)^2}|_{t=1} = \frac{1}{p}$

oraz

$\mathrm {E} (X(X-1))=f''(1)={\frac {2(1-p)}{p^{2}}}$$\mathrm{E}(X(X-1)) = f''(1) = \frac{2(1-p)}{p^2}$

z czego otrzymujemy

$\mathrm {var} (X)=f''(1)+f'(1)-(f'(1))^{2}={\frac {2(1-p)}{p^{2}}}+{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1-p}{p^{2}}}$$\mathrm{var}(X) = f''(1) + f'(1) - (f'(1))^2 = \frac{2(1-p)}{p^2} + \frac{1}{p} - \frac{1}{p^2} = \frac{1-p}{p^2}$

Wyższe momenty główne $m_{k}$$m_k$ rozkładów Geo(p) mogą być wyznaczone za pomocą funkcji generującej momenty. Spełniają one następującą zależność rekurencyjną:

$m_{k+1}=(1-p)\left(\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{1-p}}\right)m_{k}-{\frac {dm_{k}}{dp}}\right)$$m_{k+1} = (1-p)\left( \left(\frac{1}{p}+\frac{1}{1-p}\right)m_k - \frac{d m_k}{d p}\right)$

Momenty centalne $\mu _{a}$$\mu_a$ rozkładów Geo(p) mogą być wyznaczone za pomocą funkcji generującej momenty centralne. Spełniają one następującą zależność rekurencyjną:

$\mu _{a+1}=(1-p)\left({\frac {a}{p^{2}}}\mu _{a-1}-{\frac {d\mu _{a}}{dp}}\right)$$\mu_{a+1} = (1-p)\left(\frac{a}{p^2} \mu_{a-1} - \frac{d \mu_a}{d p}\right)$

Inne własności

Rozkład geometryczny jest bezpamięciowym: jeśli X ma rozkład Geo(p) i k, l są liczbami naturalnymi, to

$P(X>k+l|X>k)={\frac {P(X>k+l,X>k)}{(X>k)}}={\frac {P(X>k+l)}{(X>k)}}=$$P(X>k+l|X>k) = \frac{P(X>k+l,X>k)}{(X>k)} = \frac{P(X>k+l)}{(X>k)} =$

${\frac {(1-p)^{k+l}}{(1-p)^{k}}}=(1-p)^{l}=P(X>l).$$\frac{(1-p)^{k+l}}{(1-p)^k} = (1-p)^l = P(X>l).$

Związki z innymi rozkładami

1. Jeśli $X_{1},\ldots ,X_{r}$$X_1,\ldots,X_r$ są niezależne i mają rozkład Geo(p), to ich suma $X_{1}+\ldots +X_{r}$$X_1+\ldots+X_r$ ma ujemny rozkład dwumianowy NB(r,p)
2. Jeśli $X_{1},\ldots ,X_{r}$$X_1,\ldots,X_r$ są niezależne i mają rozkład Geo(p) to zmienna losowa $Y=\min(X_{1},\ldots ,X_{r})$$Y=\min(X_1,\ldots,X_r)$ ma rozkład geometryczny z parametrem $1-(1-p)^{r}$$1-(1-p)^r$

Zobacz też

• rozkład hipergeometryczny