Rozkład logistyczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Rozkład logistyczny
Gęstość prawdopodobieństwa
{{{opis wykresu}}}
{{{opis wykresu}}}
Dystrybuanta
{{{opis wykresu dystrybuanty}}}
{{{opis wykresu dystrybuanty}}}
Parametry parametr położenia (liczba rzeczywista)
parametr skali (liczba rzeczywista)
Nośnik
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Wartość oczekiwana (średnia)
Mediana
Moda
Wariancja
Współczynnik skośności
Kurtoza
Entropia
Funkcja tworząca momenty
dla , funkcja beta
Funkcja charakterystyczna
dla

Rozkład logistycznyciągły rozkład prawdopodobieństwa używany w szczególności do opisu analitycznego procesów wzrostu osiągających stan wysycenia.

Rozkład logistyczny ma jako podstawę funkcję logistyczną

,

wyznacza przy tym granicę wysycenia. Normalizując funkcję logistyczną przez podstawienie , uzyskujemy funkcję opisującą rozkład logistyczny. Zazwyczaj stosuje się dalsze podstawienia:

oraz

.

Symetria[edytuj]

Logistyczna zmienna losowa jest symetryczna względem wartości oczekiwanej , który jest jednocześnie medianą rozkładu.

Kwantyle[edytuj]

Do obliczenia kwantyli można użyć funkcji odwrotnej:

.

Zastosowanie[edytuj]

Przy pomocy rozkładu logistycznego opisuje się w statystyce czas trwania jakiegoś stanu, np. trwałość urządzeń elektronicznych. Dalej używa się rozkładu również do estymacji wskaźnika struktury dychotomicznej zmiennej w tzw. regresji Logit. Często stosuje się w statystyce wszakże również funkcję logistyczną, np. w nieliniowej metodzie najmniejsczych kwadratów do estymacji szeregów czasowych.

Przykład[edytuj]

Na podstawie długoletniego doświadczenia wiadomo, że czas niezawodnego działania elektrycznych szczoteczek do zębów pewnego producenta opisuje dobrze rozkład logistyczny z wartością oczekiwaną 8 lat i wariancją σ2 = 4 lata2 . Można więc zapisać

oraz
.

Tak na przykład prawdopodobieństwo, że szczoteczka do zębów będzie działać przez ponad dziesięć lat wynosi:

.

A więc ok. 15% wszystkich szczoteczek będzie działać co najmniej dziesięć lat.

Poszukajmy teraz okresu, po jakim 99,95% wszystkich szczoteczek działa niezawodnie.

.

Odpowiedź jest absurdalna: ok. 4 miesięcy przed wyprodukowaniem. W tym przykładzie przyjęto, że czas niezawodnego działania szczoteczek do zębów w szerokim zakresie (ale nie w całym ) jest dobrze opisywany przez teoretyczny rozkład (logistyczny) zmiennej losowej.