Rozkład logistyczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Rozkład logistyczny
Gęstość prawdopodobieństwa
Ilustracja
Dystrybuanta
Ilustracja
Parametry

parametr położenia (liczba rzeczywista)
parametr skali (liczba rzeczywista)

Nośnik

Gęstość prawdopodobieństwa

Dystrybuanta

Wartość oczekiwana (średnia)

Mediana

Moda

Wariancja

Współczynnik skośności

Kurtoza

Entropia

Funkcja tworząca momenty


dla funkcja beta

Funkcja charakterystyczna


dla

Rozkład logistycznyciągły rozkład prawdopodobieństwa używany w szczególności do opisu analitycznego procesów wzrostu osiągających stan wysycenia.

Rozkład logistyczny ma jako podstawę funkcję logistyczną

wyznacza przy tym granicę wysycenia. Normalizując funkcję logistyczną przez podstawienie uzyskujemy funkcję opisującą rozkład logistyczny. Zazwyczaj stosuje się dalsze podstawienia:

oraz

Symetria[edytuj | edytuj kod]

Logistyczna zmienna losowa jest symetryczna względem wartości oczekiwanej który jest jednocześnie medianą rozkładu.

Kwantyle[edytuj | edytuj kod]

Do obliczenia kwantyli można użyć funkcji odwrotnej:

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

Przy pomocy rozkładu logistycznego opisuje się w statystyce czas trwania jakiegoś stanu, np. trwałość urządzeń elektronicznych. Dalej używa się rozkładu również do estymacji wskaźnika struktury dychotomicznej zmiennej w tzw. regresji Logit. Często stosuje się w statystyce wszakże również funkcję logistyczną, np. w nieliniowej metodzie najmniejsczych kwadratów do estymacji szeregów czasowych.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Na podstawie długoletniego doświadczenia wiadomo, że czas niezawodnego działania elektrycznych szczoteczek do zębów pewnego producenta opisuje dobrze rozkład logistyczny z wartością oczekiwaną 8 lat i wariancją σ² = 4 lata². Można więc zapisać

oraz

Tak na przykład prawdopodobieństwo, że szczoteczka do zębów będzie działać przez ponad dziesięć lat wynosi:

A więc ok. 15% wszystkich szczoteczek będzie działać co najmniej dziesięć lat.

Poszukajmy teraz okresu, po jakim 99,95% wszystkich szczoteczek działa niezawodnie.

Odpowiedź jest absurdalna: ok. 4 miesięcy przed wyprodukowaniem. W tym przykładzie przyjęto, że czas niezawodnego działania szczoteczek do zębów w szerokim zakresie (ale nie w całym ) jest dobrze opisywany przez teoretyczny rozkład (logistyczny) zmiennej losowej.