Rozkład logistyczny

Rozkład logistyczny

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	$\mu$ parametr położenia (liczba rzeczywista) $s>0$ parametr skali (liczba rzeczywista)
Nośnik	$x\in (-\infty ;+\infty )$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}$
Dystrybuanta	${\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}$
Wartość oczekiwana (średnia)	$\mu$
Mediana	$\mu$
Moda	$\mu$
Wariancja	${\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}$
Współczynnik skośności	$0$
Kurtoza	$6/5$
Entropia	$\ln(s)+2$
Funkcja tworząca momenty	$e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)$ dla $|s\,t|<1,$ funkcja beta
Funkcja charakterystyczna	$e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)$ dla $|ist|<1$

Rozkład logistyczny – ciągły rozkład prawdopodobieństwa używany w szczególności do opisu analitycznego procesów wzrostu osiągających stan wysycenia.

Rozkład logistyczny ma jako podstawę funkcję logistyczną:

$l(x)={\frac {g}{1+d\cdot e^{-cx}}},$

$g$ wyznacza przy tym granicę wysycenia. Normalizując funkcję logistyczną przez podstawienie $g\equiv 1,$ uzyskujemy funkcję opisującą rozkład logistyczny. Zazwyczaj stosuje się dalsze podstawienia:

$e^{\tfrac {\mu }{s}}=d$

oraz

${\tfrac {1}{s}}=c.$

Symetria

Logistyczna zmienna losowa jest symetryczna względem wartości oczekiwanej $\alpha ,$ który jest jednocześnie medianą rozkładu.

Kwantyle

Do obliczenia kwantyli można użyć funkcji odwrotnej:

$F^{-1}(p)=\mu -s\ln \left({\frac {1-p}{p}}\right).$

Zastosowanie

Przy pomocy rozkładu logistycznego opisuje się w statystyce czas trwania jakiegoś stanu, np. trwałość urządzeń elektronicznych. Dalej używa się rozkładu również do estymacji wskaźnika struktury dychotomicznej zmiennej w tzw. regresji Logit. Często stosuje się w statystyce wszakże również funkcję logistyczną, np. w nieliniowej metodzie najmniejszych kwadratów do estymacji szeregów czasowych.

Przykład

Na podstawie długoletniego doświadczenia wiadomo, że czas niezawodnego działania elektrycznych szczoteczek do zębów pewnego producenta opisuje dobrze rozkład logistyczny z wartością oczekiwaną 8 lat i wariancją σ² = 4 lata². Można więc zapisać

$\mu =8$ oraz

$s={\frac {\sigma \cdot {\sqrt {3}}}{\pi }}={\frac {2\cdot {\sqrt {3}}}{\pi }}\approx 1{,}10.$

Tak na przykład prawdopodobieństwo, że szczoteczka do zębów będzie działać przez ponad dziesięć lat wynosi:

$\mathrm {P} (X>10)=1-\mathrm {P} (X\leqslant 10)=1-{\frac {1}{1+e^{-{\frac {10-8}{1,1}}}}}=1-0{,}8538=0{,}1462.$

A więc ok. 15% wszystkich szczoteczek będzie działać co najmniej dziesięć lat.

Poszukajmy teraz okresu, po jakim 99,95% wszystkich szczoteczek działa niezawodnie.

$F^{-1}(0{,}9995)\approx 8-1{,}10\ln {\frac {0{,}9995}{1-0{,}9995}}\approx -0{,}36044.$

Odpowiedź jest absurdalna: ok. 4 miesięcy przed wyprodukowaniem. W tym przykładzie przyjęto, że czas niezawodnego działania szczoteczek do zębów w szerokim zakresie (ale nie w całym $\mathbb {R}$) jest dobrze opisywany przez teoretyczny rozkład (logistyczny) zmiennej losowej.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Logistic Distribution, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-30].
• Logistic distribution (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].