Rozmaitość gładka

Rozmaitość gładka (o wymiarze $m$) – podzbiór $M\subset \mathbb {R} ^{k}$ o tej własności, że każdy punkt $x\in M$ ma otoczenie $W\cap M,$ które jest dyfeomorficzne z otwartym podzbiorem $U\subset \mathbb {R} ^{m}$. Na ogół w literaturze przez rozmaitość gładką rozumie się rozmaitość różniczkowalną klasy ${\mathcal {C}}^{\infty }$. Wtedy przez dyfeomorfizm rozumie się dyfeomorfizm klasy ${\mathcal {C}}^{\infty }.$ Czasami autorzy zakładają, że klasa gładkości jest taka, jaka jest potrzebna do przeprowadzenia rozumowań, tzn. zawsze co najmniej ${\mathcal {C}}^{1},$ ale jeśli to jest potrzebne (przy badaniu punktów krytycznych), to co najmniej ${\mathcal {C}}^{2}$ itd.

Pojęcie rozmaitości gładkiej

Powyższa definicja dotyczy tak zwanej rozmaitości bez brzegu lub inaczej rozmaitości zamkniętej. W topologii rozpatruje się także rozmaitości z brzegiem, której niektóre punkty są dyfeomorficzne z półprzestrzeniami przestrzeni $\mathbb {R} ^{k}.$

Twierdzenie o funkcji uwikłanej jako źródło przykładów rozmaitości gładkich

Twierdzenie o funkcji uwikłanej jest źródłem wielu przykładów rozmaitości gładkich. Niech w przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ będzie dany zbiór $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ punktów $P(x_{1},\dots ,x_{n}),$ których współrzędne $(x_{1},\dots ,x_{n})$ spełniają układ równań

${\begin{cases}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=0\\...........................\\f_{s}(x_{1},\dots ,x_{n})=0.\end{cases}}$

Wtedy jeśli rząd macierzy Jacobiego

${\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$

tego układu jest wszędzie na zbiorze $X$ równy $k,$ to zbiór ten jest rozmaitością gładką wymiaru $n-k$.

Przykłady rozmaitości gładkich

Torus deformujący się do sfery dwuwymiarowej.

• Sfera $(n-1)$-wymiarowa w przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ jest rozmaitością gładką.
• Torus jest 2-wymiarową rozmaitością gładką.
• Przestrzeń rzutowa $\mathbb {R} P^{n}$ jest $n$-wymiarową rozmaitością gładką.