Rozmaitość różniczkowalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj


Przestrzeń topologiczną , nazywamy rozmaitością wymiarową, jeśli dla każdego punktu istnieje otwarte i spójne otoczenie , , oraz homeomorfizm tego otoczenia na otwarty zbiór przestrzeni wektorowej n-wymiarowej nad ciałem liczb rzeczywistych. Homeomorfizm taki nazywamy mapą rozmaitości . Rodzina map nazywa się atlasem rozmaitości , gdy dziedziny homeomorfizmów pokrywają rozmaitość :

(1)

Zbiór wszystkich map rozmaitości nazywamy atlasem zupełnym rozmaitości . Zawsze będziemy zakładali, że dla również ; tak więc każdy atlas można uważać za podzbiór atlasu , natomiast wskaźniki służą jedynie do rozróżniania map.

Dopuszczenie przypadku jest celowe. Każda dyskretna przestrzeń topologiczna jest rozmaitością zerowymiarową.

Niech , będzie bazą , którą używamy jako ustaloną raz na zawsze. Każdy wektor można utożsamić z uporządkowanym elementowym ciągiem jego współrzędnych względem bazy . Dla mapy otrzymujemy w tej bazie następujący opis:

(2)

który każdemu punktowi przyporządkowuje uporządkowany ciąg liczb rzeczywistych , czyli tzw. współrzędnych punktu względem mapy . Rozważmy dwie mapy , rozmaitości , dla których przekrój . Wtedy punktowi odpowiadają współrzędne w mapie oraz w mapie . Oba te układy współrzędnych na przekroju wzajemnie wiąże przekształcenie współrzędnych:

(3)

Samo jako złożenie homeomorfizmów jest również homeomorfizmem zbiorów otwartych przestrzeni . Przechodząc do współrzędnych w bazie zapisujemy za pomocą układu funkcji rzeczywistych zmiennych

(4)

Każdemu atlasowi odpowiada zbiór przekształceń współrzędnych , dla którego zachodzi

(5)
(6)

Niech będzie funkcją o wartościach rzeczywistych, określoną dla rozmaitości . Każdej mapie jest przyporządkowane odpowiednie przedstawienie funkcji w tej mapie

(7)

Dla mamy dwa przedstawienia , funkcji w mapach , , które wiąże wzajemnie reguła transformacyjna

(8)

Zatem, każdej funkcji rzeczywistej odpowiada rodzina jej przedstawień w mapach; odwrotnie, gdy dana jest rodzina funkcji rzeczywistych zmiennych rzeczywistych , dla której zachodzi (7), wtedy przyjmując , otrzymamy poprawnie określoną funkcję rzeczywistą na rozmaitości . Niech , wtedy na mocy (3), (8) będzie

(9)

tak, że definicja funkcji nie zależy od wyboru mapy . Zauważmy od razu jest ciągła na wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej przedstawienia w mapach są funkcjami ciągłymi. Analogicznie będziemy także badać różniczkowalność funkcji na za pomocą jej przedstawień w mapach niech ; można powiedzieć, że jest różniczkowalna w punkcie , gdy jest różniczkowalna w punkcie . Dla nie wynika na ogół z (8) różniczkowalność w punkcie , bo wprawdzie przekształcenia współrzędnych są homeomorfizmami, lecz wcale nie muszą być różniczkowalne. Jeśli pojęcie różniczkowalności ma mieć sens niezależny od mapy, czyli od wyboru układu współrzędnych, trzeba zawęzić pojęcie rozmaitości i zażądać, aby wszystkie przekształcenia współrzędnych były dostatecznie wiele razy różniczkowalne w sposób ciagły. Wtedy różniczkowalność będzie wynikała z różniczkowalności oraz na mocy (8) i reguły łańcuchowej dla pochodnych funkcji złożonych.

Przykłady[edytuj]

  1. Przestrzeń jest -krotnym iloczynem kartezjańskim prostych liczbowych (względnie płaszczyzn zmiennej zespolonej).
  2. Iloczyn -krotny okręgu nazywamy -wymiarowym torusem ; jest to rozmaitość różniczkowalna klasy .
  3. Niech będzie otwartym podzbiorem rozmaitości . Wówczas ograniczenie atlasu tej rozmaitości do podzbioru określa w naturalny sposób strukturę różniczkowalną na , względem której jest -wymiarową podrozmaitością rozmaitości . nazywamy podrozmaitością otwartą.
  4. Niech oraz będą dwoma egzemplarzami płaszczyzny . Utożsamiamy półpłaszczyzny , wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi oraz . Powstaje wówczas rozmaitość analityczna , która nie jest rozmaitością Hausdorffa. Przykładowo otoczenia punktów oraz nigdy nie maja pustego przekroju. Natomiast przestrzeń jest przestrzenią .