Rozmaitość różniczkowalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń topologiczną nazywamy rozmaitością wymiarową, jeśli dla każdego punktu istnieje otwarte i spójne otoczenie oraz homeomorfizm tego otoczenia na otwarty zbiór przestrzeni wektorowej n-wymiarowej nad ciałem liczb rzeczywistych. Homeomorfizm taki nazywamy mapą rozmaitości Rodzina map nazywa się atlasem rozmaitości gdy dziedziny homeomorfizmów pokrywają rozmaitość

(1)

Zbiór wszystkich map rozmaitości nazywamy atlasem zupełnym rozmaitości Zawsze będziemy zakładali, że dla również tak więc każdy atlas można uważać za podzbiór atlasu natomiast wskaźniki służą jedynie do rozróżniania map.

Dopuszczenie przypadku jest celowe. Każda dyskretna przestrzeń topologiczna jest rozmaitością zerowymiarową.

Niech będzie bazą którą używamy jako ustaloną raz na zawsze. Każdy wektor można utożsamić z uporządkowanym -elementowym ciągiem jego współrzędnych względem bazy Dla mapy otrzymujemy w tej bazie następujący opis:

(2)

który każdemu punktowi przyporządkowuje uporządkowany ciąg liczb rzeczywistych czyli tzw. współrzędnych punktu względem mapy

Rozważmy dwie mapy rozmaitości dla których przekrój Wtedy punktowi odpowiadają współrzędne w mapie oraz w mapie Oba te układy współrzędnych na przekroju wzajemnie wiąże przekształcenie współrzędnych:

(3)

Samo jako złożenie homeomorfizmów jest również homeomorfizmem zbiorów otwartych przestrzeni

Przechodząc do współrzędnych w bazie zapisujemy za pomocą układu funkcji rzeczywistych zmiennych

(4)

Każdemu atlasowi odpowiada zbiór przekształceń współrzędnych dla którego zachodzi

(5)
(6)

Niech będzie funkcją o wartościach rzeczywistych, określoną dla rozmaitości Każdej mapie jest przyporządkowane odpowiednie przedstawienie funkcji w tej mapie

(7)

Dla mamy dwa przedstawienia funkcji w mapach które wiąże wzajemnie reguła transformacyjna

(8)

Zatem każdej funkcji rzeczywistej odpowiada rodzina jej przedstawień w mapach; odwrotnie, gdy dana jest rodzina funkcji rzeczywistych zmiennych rzeczywistych dla której zachodzi (7), wtedy przyjmując otrzymamy poprawnie określoną funkcję rzeczywistą na rozmaitości Niech wtedy na mocy (3), (8) będzie

(9)

tak, że definicja funkcji nie zależy od wyboru mapy

Zauważmy od razu jest ciągła na wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej przedstawienia w mapach są funkcjami ciągłymi.

Analogicznie będziemy także badać różniczkowalność funkcji na za pomocą jej przedstawień w mapach niech można powiedzieć, że jest różniczkowalna w punkcie gdy jest różniczkowalna w punkcie

Dla nie wynika na ogół z (8) różniczkowalność w punkcie bo wprawdzie przekształcenia współrzędnych są homeomorfizmami, lecz wcale nie muszą być różniczkowalne. Jeśli pojęcie różniczkowalności ma mieć sens niezależny od mapy, czyli od wyboru układu współrzędnych, trzeba zawęzić pojęcie rozmaitości i zażądać, aby wszystkie przekształcenia współrzędnych były dostatecznie wiele razy różniczkowalne w sposób ciągły. Wtedy różniczkowalność będzie wynikała z różniczkowalności oraz na mocy (8) i reguły łańcuchowej dla pochodnych funkcji złożonych.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  1. Przestrzeń jest -krotnym iloczynem kartezjańskim prostych liczbowych (względnie płaszczyzn zmiennej zespolonej).
  2. Iloczyn -krotny okręgu nazywamy -wymiarowym torusem jest to rozmaitość różniczkowalna klasy
  3. Niech będzie otwartym podzbiorem rozmaitości Wówczas ograniczenie atlasu tej rozmaitości do podzbioru określa w naturalny sposób strukturę różniczkowalną na względem której jest -wymiarową podrozmaitością rozmaitości nazywamy podrozmaitością otwartą.
  4. Niech oraz będą dwoma egzemplarzami płaszczyzny Utożsamiamy półpłaszczyzny wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi oraz Powstaje wówczas rozmaitość analityczna która nie jest rozmaitością Hausdorffa. Przykładowo otoczenia punktów oraz nigdy nie maja pustego przekroju. Natomiast przestrzeń jest przestrzenią

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]