Rozszerzenie Galois

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rozszerzenie Galoisrozszerzenie algebraiczne ciała spełniające pewne (niżej opisane) własności. Istotą tego, że rozszerzenie jest Galois jest to, że ma ono grupę Galois, przez co podlega zasadniczemu twierdzeniu teorii Galois.

Definicja[edytuj]

Rozszerzenie algebraiczne ciała jest rozszerzeniem Galois, jeżeli jest normalne i rozdzielcze. Równoważnie można je definiować jako rozszerzenie algebraiczne, którego ciałem stałym względem grupy automorfizmów jest właśnie wyjściowe ciało .

Uwagi[edytuj]

Definicje niektórych z powyższych pojęć i przykłady można znaleźć w artykule o grupach Galois.

Wynik Emila Artina umożliwia następującą konstrukcję rozszerzeń Galois: jeżeli jest danym ciałem, a jest skończoną grupą automorfizmów , to jest rozszerzeniem Galois, gdzie to ciało stałe grupy .

Charakteryzacja[edytuj]

Ważne twierdzenie Emila Artina mówi, że dla skończonego rozszerzenia każde z następujących zdań jest równoważne stwierdzeniu, iż jest Galois: