Rozszerzenie Galois

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Rozszerzenie Galois – rozszerzenie algebraiczne danego ciała takie, że istnieje grupa automorfizmów ciała ze względu na którą jest ciałem elementów stałych.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Rozszerzeniem Galois danego ciała nazywa się takie rozszerzenie algebraiczne ciała takie, że istnieje grupa automorfizmów ciała taka, że: [1], gdzie [2].

Własności[edytuj | edytuj kod]

Dane rozszerzenie algebraiczne ciała jest rozszerzeniem Galois wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozszerzeniem normalnym i rozdzielczym[1].

Dowód

Sprawdźmy, że rozszerzenie Galois musi być normalne i rozdzielcze. Skoro jest to rozszerzenie Galois, to z definicji istnieje grupa automorfizmów ciała dla której jest ciałem elementów stałych, tzn. Ustalmy oraz nierozkładalny wielomian z pierścienia taki, że Udowodnimy następnie, że stanowi iloczyn czynników liniowych należących do ale nie do Weźmy dowolny endomorfizm i zauważmy, że wielomian przyjmuje w punkcie wartość (jest tak, ponieważ ). Tak więc jest pierwiastkiem wielomianu a zbiór jest skończony. To znaczy, że dla danego istnieć może jedynie skończona liczba różnych pomimo dowolnie wybieranych endomorfizmów. Oznaczmy te elementy jako Zauważmy, że dowolny automorfizm przekształca dowolny zbiór skończony w siebie, w szczególności: Niech będzie dany wielomian wtedy Ponieważ wspomniane dwa zbiory są równe, to każdy z tych wielomianów składa się z dokładnie tych samych czynników (różniących się tylko kolejnością), a stąd wynika równość wielomianów: Tak więc dowolnie wybrany automorfizm nie zmienia wielomianu Wobec tego współczynniki tego wielomianu należą do ciała Sam wielomian należy w takim razie do pierścienia Wybrano go tak, że ma on wyłącznie pierwiastki jednokrotne i to będące zarazem pierwiastkami Wynika stąd, że wielomian dzieli wielomian Nierozkładalny wielomian musi być więc równy iloczynowi wielomianu oraz pewnego niezerowego elementu ciała Stąd wnioskujemy, że stanowi iloczyn różnych wielomianów liniowych należących do pierścienia [1].

Udowodnimy, że rozszerzenie normalne i rozdzielcze jest rozszerzeniem Galois. Z założenia, dla wielomian dla którego jest pierwiastkiem, stanowi iloczyn różnych wielomianów liniowych należących do pierścienia Niech Wtedy rozpatrywany wielomian jest stopnia silnie większego od 1, wobec czego posiada on jeszcze jeden inny pierwiastek Musi więc istnieć homomorfizm pomiędzy rozszerzeniami przekształcający w będący -izomorfizmem. Da się go rozszerzyć do -izomorfizmu gdzie jest zbiorem wszystkich elementów algebraicznych względem ciała Izomorfizm ten przekształca ciało na siebie (stanowi jego -automorfizm), a restrykcja W dalszym ciągu przekształca on w różne od niego Wynika stąd, że dowolny element należący do ale nie do nie jest zachowywany przez wszystkie automorfizmy grupy Inaczej mówiąc, q.e.d.[1]

Wynika stąd także, że w przypadku ciała doskonałego jego rozszerzenie jest normalne wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozszerzeniem Galois. Z kolei dane ciało posiada swoje skończone rozszerzenie Galois wtedy i tylko wtedy, gdy rozszerzenie to będzie ciałem rozkładu dla pewnego wielomianu o współczynnikach z wyjściowego ciała, posiadającego pierwiastki jednokrotne. Ten ostatni wniosek wynika z tego, że rozszerzenia o podanych właściwościach muszą być skończone, normalne i rozdzielcze[3].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c d Browkin 1977 ↓, s. 124.
  2. Browkin 1977 ↓, s. 120.
  3. Browkin 1977 ↓, s. 125.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna.