Rozszerzenie algebraiczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Rozszerzenie algebraiczne – w teorii ciał rozszerzenie ciała którego każdy element jest algebraiczny nad

Rozważania nad rozszerzeniem ciała o pewien element należący do ciała które samo stanowi rozszerzenie ciała Jerzy Browkin zaczyna od wprowadzenia pewnego homomorfizmu mianowicie takiego, który elementom pierścienia wielomianów przyporządkowywać będzie wartość, jaką dany wielomian przyjmuje po podstawieniu za Formalizując, [1].

Jądrem skonstruowanego w ten sposób homomorfizmu będzie zbiór tych tylko wielomianów z które przyjmują dla zmiennej wartość W dalszym ciągu przywołać należy, że stanowi ciało, a każde ciało jest dziedziną całkowitości[1]. Dowodzi się zaś, że jeśli dany pierścień ilorazowy jest dziedziną całkowitości, to ideał jest pierwszy[2]. Skoro tak, to i jądro rozpatrywanego homomorfizmu musi być ideałem pierwszym. Pierścień wielomianów ma ideały pierwsze w postaci bądź ideału zerowego, bądź to ideałów maksymalnych, a każdy ideał tego pierścienia jest główny – skoro więc ma być to jednocześnie ideał maksymalny, będzie on generowany przez pewien wielomian nierozkładalny[1].

W pierwszym przypadku jądrem może być wielomian zerowy[1]. Oznacza to, że żaden inny wielomian nie znika dla elementu Element ten, nie będąc pierwiastkiem żadnego niezerowego wielominanu, określa się jako przestępny[3]. Homomorfizm będzie wtedy zanurzeniem[1]. Wskazuje się wtedy izomorfizm pomiędzy zbiorem a i podobnie między zbiorem ilorazów elementów tego zbioru z Dowodzi się w takim wypadku, że jest izomorficzne z ciałem funkcji wymiernych od co wskazuje na nieskończenie liczną bazę rozszerzenia [1].

W drugim przypadku jądrem będzie ideał generowany przez pewien wielomian nierozkładalny taki, że stanowi jego pierwiastek[1]. Taki element rozszerzenia, będący pierwiastkiem niezerowego wielomianu z pierścienia nazywa się elementem algebraicznym nad tym ciałem[3]. Wobec powyższego każdy wielomian wzięty z jeśli znika po podstawieniu za to należy do jądra Z uwagi na właściwości tegoż jądra musi więc być wielokrotnością Czyni to ten ostatni jedynym nierozkładalnym wielomianem przyjmującym dla wartość [1]. W dalszych rozważaniach korzysta się z twierdzenia o izomorfizmie. Wynika z niego, że izomorficzne w stosunku do siebie są dwa pierścienie, z których pierwszy to a drugi to pierścień ilorazowy przez Jako że oznacza tutaj ideał maksymalny generowany przez drugi pierścień jest ciałem. Wobec izomorfizmu oba pierścienie to ciała. Pamiętając, że przyporządkowuje wielomianowi z jego wartość dla dochodzi się do wniosku, że [3].

Więcej informacji na temat ciała otrzymać można, przedstawiając dowolny wielomian należący do w postaci gdzie stanowi iloraz z dzielenia przez a stanowi resztę z tego dzielenia (i dlatego stopień wielomianu winien być mniejszy od stopnia ). Po podstawieniu w miejsce okazuje się, że się zeruje i Wobec tego pamiętając o warunku nałożonym na stopień Można wykazać jednoznaczność przedstawienia elementów poprzez Oznacza to, że każdy element należący do stanowi kombinację liniową elementów tworzonych poprzez podnoszenie do potęg od do o mniejszej od stopnia Wobec tego zbiór tych potęg elementu stanowić będzie bazę dokonanego rozszerzenia. Ma ona dokładnie tyle elementów, ile wynosił stopień [3].

Z przeanalizowanych przypadków wynika, że w przypadku rozszerzenia ciała o element algebraiczny nad tym ciałem zawsze jest liczbą skończoną. Liczbę tę określa się jako stopień elementu względem ciała [3]. Stopień ten w przeanalizowanym przypadku równa się stopniowi rozpatrywanego nierozkładalnego wielomianu który przyjmuje wartość po podstawieniu doń tego elementu i zwany jest sam wielomianem minimalnym dla tegoż elementu[4].

Powyższe rozważania można rozszerzyć na dowolną liczbę elementów z Dla elementów algebraicznych nad od do i również jest liczbą skończoną[5].

Jeżeli więc dla danego ciała które stanowi rozszerzenie ciała dla dowolnego jego elementu zachodzi druga opisana sytuacja, to znaczy każdy element rzeczonego rozszerzenia jest algebraiczny nad a żaden nie jest przestępny, to wtedy stanowi rozszerzenie algebraiczne [5].

Jak wynika z powyższych rozważań, rozszerzenie algebraiczne jest skończone. Prawdą jest także implikacja w drugą stronę: mianowicie każde rozszerzenie skończone ciała jest zarazem algebraiczne. Jeśli bowiem jest skończone, to dla każdego elementu wziętego z rozszerzenie będzie podciałem Wobec tego nie będzie mogło być większe od które przyjmuje skończoną wartość. W efekcie także będzie miało wartość skończoną. Wobec tego rozszerzenie to będzie podpadać pod drugi z rozważanych przykładów i element będzie algebraiczny nad tym ciałem. Jako że tyczy się to dowolnego elementu wybranego z ciała rozszerzenie musi więc być algebraiczne[5].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c d e f g h Browkin 1977 ↓, s. 69.
  2. Browkin 1977 ↓, s. 52.
  3. a b c d e Browkin 1977 ↓, s. 70.
  4. Browkin 1977 ↓, s. 70–71.
  5. a b c Browkin 1977 ↓, s. 71.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]