Rozszerzenie ciała

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rozszerzenie ciała – większe (w sensie inkluzji) ciało zawierające dane ciało. Na przykład, ciało liczb rzeczywistych jest rozszerzeniem ciała liczb wymiernych; ciało liczb zespolonych jest rozszerzeniem ciał liczb rzeczywistych (więc także wymiernych). Rozszerzenia ciał są centralnym pojęciem teorii Galois. Wyróżnia się wiele rodzajów rozszerzeń ciał ze względu na ich własności.

Każde rozszerzenie ciała jest przestrzenią liniową nad . Wymiar tej przestrzeni oznacza się przez i nazywa stopniem rozszerzenia .

Rozszerzenie ciała o pierwiastki wielomianu[edytuj]

Z teorii równań algebraicznych wynika, że każdy niesprzeczny układ równań nad ciałem ma rozwiązanie w pewnym ciele . W szczególności, jeżeli jest wielomianem o współczynnikach z ciała , to istnieje rozszerzenie ciała , które zawiera pierwiastek wielomianu .

Mówimy, że ciało jest rozszerzeniem ciała o pierwiastek wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy [1].

Dla przykładu, ciało liczb zespolonych jest rozszerzeniem ciała liczb rzeczywistych o pierwiastek wielomianu .

Jeśli jest rozszerzeniem ciała oraz , to

.

Rozszerzenie o pierwiastek danego wielomianu nie jest wyznaczone jednoznacznie w przypadku gdy wielomian jest rozkładalny. W przypadaku gdy dany wielomian jest nierozkładalny, to rozszerzenia wyznacza się z dokładnością do izomorfizmu.

Ciało rozkładu wielomianu[edytuj]

Mówimy, że ciało jest ciałem rozkładu wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian rozkłada się w pierścieniu na czynniki liniowe oraz

,

gdzie są wszystkimi pierwiastkami w ciele .

Dla każdego wielomianu stopnia dodatniego istnieje jego ciało rozkładu. Dowolne dwa ciała rozkładu tego wielomianu są izomorficzne.

Rozszerzenie algebraiczne[edytuj]

 Zobacz też: element algebraiczny.

Rozszerzenie ciała nazywamy algebraicznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element jest algebraiczny nad .

Dla przykładu, każdy element ciała skończonego jest algebraiczny nad podciałem prostym, zawartym w tym ciele.

Dla rozszerzenia i następujące warunki są równoważne

  • jest algebraiczny nad ,
  • ,
  • .

Stopień rozszerzenia nazywa się stopniem elementu algebraicznego . Stopień ten jest równy stopniowi wielomianu nierozkładalnego takiemu, że , a także minimalnemu stopniowi niezerowego wielomianu takiego, że

Rozszerzenie rozdzielcze[edytuj]

 Zobacz też: element rozdzielczy.

Rozszerzenie ciała nazywamy rozdzielczym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element jest rozdzielczy nad .

Jeśli ciało ma charakterystykę równą , to każde jego rozszerzenie algebraiczne jest rozdzielcze. W szczególności, każde algebraiczne rozszerzenie ciała liczb wymiernych jest rozdzielcze.

Rozszerzenie czysto przestępne[edytuj]

Rozszerzenie ciała nazywamy czysto przestępnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór algebraicznie niezależny , taki że .

Rozszerzenia skończone[edytuj]

Rozszerzenie ciała nazywa się skończonym wtedy i tylko wtedy, gdy ma skończony stopień, tzn. .

Każde rozszerzenie skończone jest algebraiczne. Jeśli jest ciągiem rozszerzeń ciał, to rozszerzenie jest skończone wtedy i tylko wtedy, gdy rozszerzenia i są skończone. Ponadto

.

Rozszerzenie normalne[edytuj]

 Osobny artykuł: Rozszerzenie normalne.

Rozszerzenie ciała nazywamy normalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest algebraiczne i dla każdego wielomian nierozkładalny , którego pierwiastkiem jest rozkłada się w na czynniki liniowe.

Przypisy

  1. W dalszej części artykułu, przez będziemy oznaczać najmniejsze w sensie inkluzji ciało zawierające zbiór , natomiast przez najmniejszy w sensie inkluzji pierścień zawierający ten zbiór.

Literatura[edytuj]

  1. Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1987.