Ruch harmoniczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Mechanika klasyczna
Rownia tarcie.svg
\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}
II zasada dynamiki Newtona
Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta
Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson
Oscylator harmoniczny

Ruch harmoniczny prosty - ruch drgający, w którym na ciało działa siła o wartości proporcjonalnej do wychylenia ciała z położenia równowagi, skierowana zawsze w stronę punktu równowagi. Wykres wychylenia ciała od położenia równowagi w zależności od czasu jest tzw. krzywą harmoniczną (np. sinusoidą).

Ruch harmoniczny jest najprostszym do opisu rodzajem drgań. Przykładem jest ruch ciężarka na sprężynie.

Wiele drgań występujących w rzeczywistości można traktować z dobrym przybliżeniem jako drgania harmoniczne. Drgania dowolnego rodzaju, nawet bardzo złożone, można przedstawić w postaci sumy drgań harmonicznych o różnych częstotliwościach i amplitudach. Znajdowanie takich przedstawień jest zadaniem analizy harmonicznej.

Ruch harmoniczny prosty[edytuj | edytuj kod]

Ciało porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli działa na nie siła o wartości proporcjonalnej do wychylenia ciała z położenia równowagi i skierowana w stronę położenia równowagi

\vec{F}= -k\vec{x},

gdzie:

\vec{F} - wektor siły,
k - współczynnik proporcjonalności (zwany stałą sprężystości),
\vec{x} - wektor wychylenia ciała od położenia równowagi.

Zakładając, że ruch układu odbywa się w jednym wymiarze otrzymuje się

F= -k x,

gdzie F oznacza współrzędną wektora siły, a x współrzędną wektora \vec{x} w przyjętym układzie współrzędnych.

II zasada dynamiki Newtona podaje zależność między przyspieszeniem ciała a działającą na nie siłą wypadkową

a=\frac{F}{m}\,

Z powyższych dwóch wzorów wynika

a = -\frac{k}{m} x

Zapisanie przyspieszenia w postaci różniczkowej prowadzi do równania w postaci

\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -\frac{k}{m} x= -\omega_0^2 x

gdzie:

 \omega_0 =\sqrt{ k/m} jest tzw. częstością kołową drgań.

Powyższe równanie różniczkowe jest równaniem zwyczajnym drugiego rzędu.

Rozwiązania tego równania można przedstawić w postaci:

x(t)= A \cos(\omega_0 t+\varphi)

gdzie:

  • A - ampituda drgań czyli maksymalne wychylenie ciała od położenia równowagi,
  •  \varphi - faza drgań,

Częstotliwość drgań \nu zależy od \omega_0 i T następująco:

\nu=\frac{\omega_0}{2\pi} oraz \nu=\frac{1}{T}
Ustalony punkt fali (niebieska kropka) wykonuje drgania harmoniczne o amplitudzie i częstotliwości równym amplitudzie i częstotliwości ruchu falowego. Na osi poziomej odłożono współrzędną przestrzenną x.

Faza drgań wiąże się z położeniem ciała w momencie rozpoczęcia pomiaru czasu.

Własnością ruchu harmonicznego jest to, że inne wielkości (prędkość, przyspieszenie) też są opisane przez równanie harmoniczne. Np. przyjmując pierwsze z rozwiązań na x(t) otrzymamy następujące wzory na prędkość i przyspieszenie [1]:

Zależność wychylenia ciała drgającego harmonicznie od czasu. A- amplituda drgań, T - okres drgań.
 v(t) = \frac {dx}{dt} = -\omega_0 A \sin(\omega_0 t + \varphi),
 a(t) = \frac {dv}{dt} = -\omega_0^2 A \cos(\omega_0 t + \varphi).

Rozwiązania równania różniczkowego oscylatora harmonicznego można zapisać w innych, równoważnych postaciach, np.

x(t)= B \sin(\omega_0 t) + C \cos(\omega_0 t) \,,
x(t)= A \sin(\omega_0 t+\varphi'),

gdzie: A,B,C,\varphi' - stałe zależne od warunków początkowych. Rozwiązania o takiej postaci nazywamy harmonikami.

Energia w ruchu harmonicznym prostym[edytuj | edytuj kod]

Wykresy zależności energii od wychylania x a) energia potencjalna (kolor zielony), b) energia kinetyczna (kolor czerwony).

Energia w ruchu harmonicznym jest sumą energii potencjalnej i kinetycznej. Energia potencjalna dla siły proporcjonalnej do wychylenia dana jest wzorem

E_{p}(t)=\frac{1}{2}kx^{2}(t),

skąd po podstawieniu wyrażenia na x(t)

E_{p}(t)=\frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega_0 t+\varphi),

zaś energię kinetyczną określa wzór

E_{k}(t)\!=\frac{1}{2}m v^{2}(t) =\frac{1}{2} m \omega_0^2 A^2  \sin^2(\omega_0 t +\varphi).

Dodając powyższe wzory i korzystając z własności jedynki trygonometrycznej oraz z zależności \omega_0^2=k/m obliczymy całkowitą energię ciała drgającego

E(t)= \frac{1}{2} k A^2=const(t)

Całkowita energia w ruchu harmonicznym prostym jest stała, niezależna od czasu. Wynik ten jest zgodny z założeniem, że na ciało drgające działa jedynie siła sprężysta F=-kx , zaś siły oporu są zerowe lub pomijalne.

Mimo stałości energii całkowitej, energia kinetyczna i potencjalna zmieniają się w czasie.

Ruch harmoniczny tłumiony[edytuj | edytuj kod]

W rzeczywistych sytuacjach fizycznych zazwyczaj nie można pominąć sił oporu. Np. wahadło wprawione w ruch po pewnym czasie zatrzyma się. Przyczyną tego jest działanie oporu powietrza oraz rozpraszanie energii w miejscu zamocowania wahadła.

Niech na ciało działa - oprócz siły harmonicznej - siła oporu ośrodka proporcjonalna do prędkości ciała :

\vec{F}_{op} = -b \vec{v}

Wtedy równanie ruchu przyjmie postać:

\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -\frac{k}{m} x - \frac{b}{m}\frac{dx}{dt}

Wprowadzając oznaczenie[1]:

 \Gamma = \frac b m

otrzymuje się równanie oscylatora harmonicznego tłumionego

\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \Gamma \frac{dx}{dt} + \omega_0^{2} x = 0.
Zależności x(t) w ruchu harmonicznym nietłumionym (kolor zielony) i tłumionym (kolor czerwony); obwiednia ruchu tłumionego (kolor czarny).

Oscylator słabo tłumiony[edytuj | edytuj kod]

Gdy tłumienie jest słabe, to \omega_0^2 > \frac 1 4 \Gamma^2 , wtedy

\omega =\sqrt{ \omega_0^2 - \frac 1 4 \Gamma^2}

jest liczbą rzeczywistą. Wielkość ω jest częstotliwością drgań układu, na który działa siła tłumiąca. Częstotliwość ruchu tłumionego \omega nazywana jest zmodyfikowaną częstością drgań: jest ona mniejsza od częstotliwości drgań \omega_0 układu nietłumionego i to tym bardziej, im większy jest współczynnik tłumienia \Gamma .

Rozwiązanie równania ruchu oscylatora tłumionego można wyrazić w postaci:

 x(t) = e^{-\frac {\Gamma t} 2}(A \sin \omega t + B \cos \omega t)

Stałe A i B zależą od warunków początkowych według następujących związków:

 A = \frac {v_0 + \frac 1 2 \Gamma x_0} \omega
 B = x_0 \,

gdzie:

  •  x_0 - położenie początkowe,
  •  v_0 - prędkość początkowa.

Powyższe rozwiązanie składa się z dwóch czynników:

  • e^{-\frac {\Gamma t} 2} - malejącego wykładniczo z czasem,
  •  A \sin \omega t + B \cos \omega t - oscylacyjnego, zmieniającego się z częstością ω

Dla słabego tłumienia czynnik wykładniczy jest w ciągu jednego cyklu w zasadzie stały. Wówczas można przyjąć, że ruch jest harmoniczny, z malejącą amplitudą. W przypadku słabego tłumienia ciało drgające może wykonać wiele oscylacji do chwili zatrzymania się. Przykładem jest zwykłe wahadło - ruch takiego wahadła można opisać z dobrym przybliżeniem jako ruch harmoniczny o stopniowo malejącej amplitudzie.

Oscylator przetłumiony[edytuj | edytuj kod]

Gdy tłumienie jest silne, to \omega_0^2 - \frac 1 4 \Gamma^2 < 0 , wówczas przyjmując ω:

 \omega = \sqrt {\frac 1 4 \Gamma^2 - \omega_0^2 },

otrzymamy

 x(t) = e^{-\frac {\Gamma t} 2}\left(A \sinh \omega t + B \cosh \omega t \right)

Drugi czynnik powyższego wyrażenia jest wolnozmienny, a nie oscylacyjny jak w przypadku słabego tłumienia. W przypadku silnego tłumienia nie występuje ruch oscylacyjny, lecz zanik wychylenia z czasem jest opisany zależnością zbliżoną do eksponencjalnej.

Diagramy fazowe[edytuj | edytuj kod]

Wykres fazowy czyli zależność położenia od prędkośćci x(v) dla ruchu harmonicznego nietłumionego (kolor zielony) i tłumionego (kolor czerwony).

Na wykresie fazowym z lewej pokazano krzywe fazowe dla ruchu harmonicznego prostego i ruchu harmonicznego tłumionego. Widać, że w przypadku braku tłumienia prędkość i wychylenie zmieniają się cyklicznie, zaś w przypadku tłumienia krzywa fazowa zmierza w kierunku punktu równowagi x=0, v=0.

Dla wykreślonych krzywych fazowych przyjęto następujące parametry:

  • \omega = 1,0 - częstość kołowa,
  • \beta = 0,2 - współczynnik tłumienia,
  • x_{0} = 1,0 - położenie początkowe,
  • v_{0} = 1,0 - prędkość początkowa.

Opis małych drgań[edytuj | edytuj kod]

Dowolny ruch drgający ciała można traktować z dobrym przybliżeniem jako drganie harmoniczne, jeżeli spełnione są dwa warunki:

  • amplituda drgań ciała jest dostatecznie mała
  • ciało drga tak, że energię potencjalną ciała da się rozwinąć w szereg Taylora w zależności od wychylenia ciała od położenia równowagi, co w praktyce oznacza, że posiada ciągłą pierwszą i drugą pochodną w pewnym otoczeniu punktu równowagi.

Jest to tzw. przypadek małych drgań. Np. W przypadku dużych amplitud drgań wahadło matematyczne wykonuje dość złożony ruch. Jednak gdy drgania wahadła mają niewielką amplitudę, to ruch wahadła można w uznać za ruch harmoniczny.

Aby to wykazać, załóżmy że ciało znajdujące się w położeniu x_{r} ma stan równowagi trwałej. Oznacza to, że w punkcie x_{r} energia potencjalna tego ciała ma wartość minimalną E(x_{r}). Jeżeli funkcja E(x) posiada rozwinięcie w szereg Taylora w otoczeniu x_{r}, to możemy zapisać:


E(x_{r}+h) = E(x_{r}) + \left . \frac{dE}{dx} \right |_{x = x_{r}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\cdot h + 
\left . \frac{1}{2} \frac{d^{2}E}{dx^{2}}  \right |_{x = x_{r}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \cdot h^{2} + \dots

gdzie 
h=x-x_r
oznacz odchylenie ciała od położenia równowagi x_{r}. Drugi wyraz rozwinięcia zeruje się


\left . \frac{dE}{dx} \right |_{x = x_{r}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!=0

- jest to warunek konieczny występowania minimum energii w położeniu x_{r}. Ponadto, dla dostatecznie małych 
h
wyraz zawierający 
h^3
i kolejne wyrazy są pomijalnie małe wobec wyrazu z 
h^2
(To, kiedy to jest słuszne, musi być ocenione na podstwie zależności 
E(x)
w konkretnym zagadnieniu). Z dobrym przybliżniem możemy więc napisać:

E(x) = E(0) + \frac{kx^{2}}{2}\,

gdzie przyjęliśmy x_r=0, zamiast h napisaliśmy x. Z powyższej zależności możemy wyznaczyć siłę, działajacą na ciało licząc ujemną wartość gradientu energii potencjalnej

F(x) = - \frac{dE(x)}{dx} = -kx

Otrzymaliśmy wzór na siłę działającą na ciało w ruchu harmonicznym

Przykłady ruchów harmonicznych[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. 1,0 1,1 F. C. Crawford: Fale. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe PWN, 1973.