Rząd (teoria grup)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rząd – pojęcie oddające intuicję „rozmiaru” (w sensie „rzędu wielkości”) danej grupy i ułatwiające przy tym opis jej podgrup; w szczególności rzędem elementu nazywa się rząd („rozmiar”) najmniejszej (pod)grupy zawierającej ten element.

W dalszej części artykułu grupy zapisywane będą w notacji multiplikatywnej, a symbol będzie oznaczać ich element neutralny.

Definicja[edytuj]

Rzędem grupy nazywa się moc zbioru Jeżeli tzn. grupa jest generowana przez element to rzędem elementu nazywa się rząd grupy (w szczególności odnosi się to do grupy będącej podgrupą innej). Ponieważ jest grupą cykliczną, to korzystając z jej definicji rząd elementu często określa się w następujący, równoważny sposób: rzędem elementu nazywa się najmniejszą dodatnią liczbę naturalną która spełnia Jeśli taka liczba nie istnieje, to przyjmuje się, że rząd elementu jest nieskończony.

Rząd grupy oznacza się symbolami (od ang. order, tu: „rząd”), (od „rząd”), bądź (oznaczenia mocy zbioru). Rząd elementu oznacza się zwykle za pomocą czterech pierwszych z ww. symboli, tzn. definicje rzędów elementu i grupy powiązane są zatem następującym wzorem:

Przedstawioną definicję rzędu (jako mocy nośnika grupy) spotyka się zwykle w monografiach, w podręcznikach częstsze jest wykorzystanie liczebności zbioru (pokrywa się z przytoczoną definicją), gdy jest on skończony, w pozostałych przypadkach, bez względu na rodzaj nieskończoności, przyjmuje się, że rząd również jest nieskończony, co dla grupy zapisuje się zwykle i podobnie w przypadku rzędu elementu.

Przykłady[edytuj]

Grupa przekształceń geometrycznych zachowujących trójkąt równoboczny (z pokolorowanymi dla wygody na czerwono, niebiesko i zielono wierzchołkami) składa się z sześciu przekształceń: identyczności, dwóch obrotów (o 120°, 240°) wokół środka tego trójkąta i trzech symetrii o osiach przechodzących przez ustalony wierzchołek i środek trójkąta.
Identyczność (zachowująca kolory) jest elementem rzędu pierwszego; obroty wymagają trzykrotnego przyłożenia, aby uzyskać wyjściowy trójkąt (tzn. układ kolorów sprzed ich zastosowania), są więc elementami rzędu trzeciego; anulowanie symetrii wymaga jej powtórzenia, dlatego są one elementami rzędu drugiego (zamieniają kolory dwóch wierzchołków pozostawiając trzeci niezmienionym).
  • Rząd grupy trywialnej wynosi generowana jest ona przez jedyny jej element stąd i dlatego rząd podgrupy trywialnej, czyli grupy generowanej przez element neutralny, również wynosi Ponieważ istnieje tylko jedna podgrupa rzędu to element mający rząd musi być elementem neutralnym.
  • Grupa symetryczna to grupa wszystkich permutacji trójelementowego zbioru; można ją utożsamiać z grupą diedralną będącą grupą izometrii własnych trójkąta równobocznego (zob. rysunek obok). Wspomniane grupy mają sześć elementów, zatem Symetrie osiowe trójkąta równobocznego polegają na zamianie dwóch jego wierzchołków, odpowiada to ich permutacjom będącym transpozycjami – są to elementy rzędu drugiego. Obroty tego trójkąta polegają na cyklicznej zmianie miejscami wszystkich wierzchołków, czyli permutacji cyklicznej zmieniającej każdy z nich – są to elementy rzędu trzeciego.
  • Choć grupy i mają rząd to brak w nich elementu o tym rzędzie, jednakże wszystkie elementy w niej zawarte są dzielnikami Uwaga ta wynika z obserwacji ogólniejszej natury (zob. twierdzenie Lagrange’a). Inną grupą rzędu o strukturze odbiegającej od struktury powyższych grup (tzn. nieizomorficzna z powyższymi; z dokładnością do izomorfizmu istnieją tylko dwie grupy tego rzędu) jest grupa cykliczna rzędu która zawiera element tego rzędu.
  • Jeżeli każdy element danej grupy, poza neutralnym, jest rzędu to dowolne dwa elementy są ze sobą przemienne (grupa jest abelowa)[1]. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe – kontrprzykładem może być wyżej wspomniana grupa cykliczna rzędu która jest abelowa, lecz istnieją w niej elementy rzędu
  • Jeżeli rząd dowolnego elementu grupy jest skończony, to nazywa się ją grupą torsyjną. Rzędy elementów grupy skończonej są również skończone, zatem każda grupa skończona jest torsyjna; istnieją jednak grupy torsyjne nieskończonego rzędu, np. grupa pierwiastków z jedynki.

Własności[edytuj]

Napisy oraz będą oznaczać odpowiednio największy wspólny dzielnik oraz najmniejszą wspólną wielokrotność liczb

Kluczową własnością rzędu jest następujący fakt:

wtedy i tylko wtedy, gdy rząd jest dzielnikiem [2].

Stąd jeśli ma rząd to dla dowolnych liczb całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy [3]. Jeżeli jest rzędu to ma dla dowolnego całkowitego rząd [4]. Wynikają stąd dwa ważne wnioski: jeśli jest rzędu oraz i to jest rzędu jeśli jest rzędu oraz ma rząd wtedy i tylko wtedy, gdy [5].

W ogólności niewiele można powiedzieć o rzędzie na podstawie rzędów oraz [6]. Jeśli jednak elementy te komutują (są przemienne, tzn. ), to ich skończony rząd pociąga skończony rząd ich iloczynu[7]. Jeśli rzędy i są ponadto względnie pierwsze, to rząd ich iloczynu jest iloczynem ich rzędów[8]. Z tej obserwacji wynika, że jeżeli elementy rzędu oraz rzędu komutują, to pewien ich iloczyn ma rząd – ideą stojącą za tym wnioskiem jest zapisanie jako iloczynu dwóch względnie pierwszych czynników i znalezieniu wykładników takich by elementy i miały rząd równy tym czynników, a ich iloczyn miał rząd równy iloczynowi tych liczb (tu stosuje się poprzednie stwierdzenie), równy z konstrukcji [9].

Jeśli dowolne dwa elementy grupy komutują, to grupę nazywa się abelową (przemienną). W skończonej grupie abelowej rzędu dla dowolnego elementu zachodzi [10]. Z tego faktu oraz „własności kluczowej” wynika bezpośrednio, iż każdy element grupy abelowej skończonego rzędu ma rząd dzielący Wniosek ten jest prawdziwy również w przypadku nieprzemiennym: nosi wtedy nazwę twierdzenia Lagrange’a – jego dowód wymaga jednak innych środków; jego pewnym odwróceniem są twierdzenie Cauchy’ego oraz, ogólniejsze, twierdzenia Sylowa.

Ważnym twierdzeniem mówiącym o rzędach elementów grupy multiplikatywnej jest małe twierdzenie Fermata, pomocny jest też wniosek z niego płynący znany jako twierdzenie Eulera.

Przypisy

  1. Ponieważ dla dowolnego elementu zachodzi to
  2. Niech oznacza rząd całej grupy. Jeśli to dla pewnego Wówczas W drugą stronę: z twierdzenia o dzieleniu z resztą, przy założeniu, iż liczbę można zapisać w postaci przy czym i są liczbami całkowitymi. Wtedy Warunek nałożony na oraz minimalność wynikającą bycia rzędem sprawiają, że musi być czyli a więc
  3. Wystarczy skorzystać z powyższego faktu zapisując warunek w postaci
  4. Kluczem do dowodu jest fakt, iż gdy oraz to Niech będzie rzędem – należy wtedy wykazać, że Ponieważ to na mocy faktu; dzieląc i przez ich największy wspólny dzielnik, zatem Ponieważ oraz są względnie pierwsze, to musi dzielić a więc Nierówność w drugą stronę uzyskuje się zauważając, iż
  5. Ponieważ wtedy i tylko wtedy, gdy
  6. Przykłady z geometrii płaskiej (zob. grupa euklidesowa): złożenie dwóch przesunięć (rząd nieskończony) o przeciwnych wektorach daje tożsamość (rząd skończony równy 1) – w przeciwnym przypadku daje przesunięcie (rząd nieskończony); złożenie dwóch symetrii osiowych (rząd skończony równy 2) o równoległych osiach jest przesunięciem (rząd nieskończony) – gdy osie są prostopadłe, ich złożenie jest obrotem o kąt półpełny (rząd skończony równy 2).
  7. Jeśli i oraz to Więcej: jest podzielne przez jak i tak więc Najmniejsza wspólna wielokrotność nie jest tylko ograniczeniem górnym na rząd iloczynu – można ją uzyskać jako rząd pewnego iloczynu ich potęg; patrz dalej.
  8. Jeśli i z powyższej uwagi ma skończony rząd, który dzieli na podstawie faktu z początku sekcji. Wystarczy wykazać, że jeśli to i Z przemienności jest a po podniesieniu obu stron do -tej potęgi (w celu zlikwidowania czynnika ) otrzymuje się skąd na mocy faktu; ponieważ to Podobnie rugując w powyższej tożsamości czynnik uzyskuje się Skoro oraz to a ponieważ (z pierwszej części dowodu), to
  9. Jeśli i są rozkładami tych liczb na czynniki pierwsze (obie liczby mają w rozkładzie ten sam ciąg różnych liczb pierwszych; jeśli dana liczba nie występuje w rozkładzie, to jej wykładnik jest równy zeru), to ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa Niech oraz wtedy i (gdyż nie mają wspólnych czynników pierwszych); zatem, z konstrukcji, oraz Komutujące elementy mają więc względnie pierwsze rzędy odpowiednio równe dlatego ich iloczyn ma rząd
  10. Jeśli to odwzorowanie dane wzorem jest funkcją różnowartościową, a ze skończoności musi być również „na”; wynika stąd, że jest tylko (potencjalnie) innym uporządkowaniem elementów grupy Porównując iloczyn elementów z obu przedstawień otrzymuje się skąd Choć teza obowiązuje również w przypadku nieprzemiennym, to dowód ten jest wtedy niepoprawny.