Rzut (algebra liniowa)

Rzut lub projekcja^[a] – uogólnienie pojęcia rzutu znanego z geometrii elementarnej: idempotentny endomorfizm liniowy określony na danej przestrzeni liniowej, czyli operator liniowy zachowujący swój obraz, tzn. dla którego każdy element obrazu jest punktem stałym tego przekształcenia.

Rzuty/projekcje ortogonalne są uogólnieniem pojęcia rzutu prostokątnego z geometrii euklidesowej (zob. osobna sekcja); w przestrzeniach unitarnych (tzn. z iloczynem skalarnym, np. przestrzeniach euklidesowych) są to ni mniej, ni więcej operatory samosprzężone.

Rzut ukośny[edytuj | edytuj kod]

Rzut

\mathrm {T}

wzdłuż prostej

k

na prostą

m.

Niech dana będzie przestrzeń liniowa $V$ (nad ustalonym ciałem). Przekształcenie liniowe $\mathrm {P} \colon V\to V$ tej przestrzeni w siebie spełniające warunek idempotentności

\mathrm {P} ^{2}=\mathrm {P} ,

czyli $\mathrm {P} {\big (}\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big )}=\mathrm {P} (\mathbf {v} )$ dla każdego $\mathbf {v} \in V$ nazywa się rzutem (ukośnym) lub projekcją.

Odwzorowanie $\mathrm {P}$ można scharakteryzować w następujący sposób: dowolny wektor $\mathbf {v} \in V$ można przedstawić w jednoznaczny sposób w postaci sumy $\mathbf {v} =\mathbf {w} +\mathbf {u} ,$ gdzie $\mathbf {w} \in \ker \mathrm {P}$ oraz $\mathbf {u} \in \mathrm {im\;P}$ ^[b]. Oznacza to, że $V=\ker \mathrm {P} \oplus \mathrm {im\;P} ,$ czyli $V$ jest sumą prostą jądra i obrazu $\mathrm {P} .$ Jeżeli $V$ jest skończeniewymiarowa, zaś $U$ jest jej podprzestrzenią liniową, to na mocy twierdzenia o rzędzie istnieje rzut $\mathrm {P} ,$ dla którego $\mathrm {im\;P} =U$ (jeśli $0<\dim U<\dim V,$ to rzutów określonych na $V$ o obrazie $U$ jest nieskończenie wiele).

Dla danych podprzestrzeni $W,U$ przestrzeni $V$ spełniających $V=W\oplus U$ przekształcenie $\mathrm {P} \colon V\to V$ nazywa się rzutem na $U$ wzdłuż $W,$ jeśli dla każdego $\mathbf {v} \in V$ zachodzi

\mathrm {P} (\mathbf {v} )\in U

oraz

\mathbf {v} -\mathrm {P} (\mathbf {v} )\in W.

Jedynymi wartościami własnymi rzutu są zero i jedynka, tzn. widmo rzutu $\mathrm {P}$ jest równe $\sigma (\mathrm {P} )=\{0,1\}$ ^[c]; ponadto rzut jest diagonalizowalny i w szczególności (w ciele charakterystyki zerowej) jego ślad jest równy wymiarowi obrazu^[d]. Z drugiej strony, jeśli przekształcenie $\mathrm {A}$ ma widmo $\sigma (\mathrm {A} )=\{0,1\}$ i jest diagonalizowalne, to $\mathrm {A}$ jest rzutem^[e].

Jeśli $\mathrm {P}$ jest rzutem na $U$ wzdłuż $W,$ to przekształcenie $\mathrm {Q} =\mathrm {I} -\mathrm {P} \colon V\to V$ dane wzorem $\mathrm {Q} (\mathbf {v} )=\mathbf {v} -\mathrm {P} (\mathbf {v} )$ jest rzutem na $W$ wzdłuż $U$ ^[f]. Tym samym rozkładowi $V=U\oplus W$ odpowiada para rzutów $\mathrm {P} ,\mathrm {Q} .$

Rzut ortogonalny[edytuj | edytuj kod]

Rzut ortogonalny

\mathrm {P}

na prostą

m.

Jeżeli $\mathrm {P}$ jest rzutem (ukośnym) na $U$ wzdłuż $W$ oraz $V=W\perp U$ jest ortogonalną sumą prostą, to $\mathrm {P}$ nazywa się rzutem ortogonalnym (na $U$ wzdłuż $W$ ). Wówczas $W=U^{\perp }$ jest dopełnieniem ortogonalnym $U,$ czyli zachodzi $V=U^{\perp }\oplus U,$ a więc $V=(\mathrm {im\;P} )^{\perp }\oplus \mathrm {im\;P} ,$ gdyż wtedy $\ker P=(\mathrm {im\;P} )^{\perp },$ gdzie $\mathrm {im\;P}$ oraz $\ker \mathrm {P}$ oznaczają odpowiednio obraz i jądro rzutu $\mathrm {P} .$

Konstrukcja ortogonalnej sumy prostej wymaga istnienia (niezdegenerowanej) symetrycznej formy dwuliniowej określonej na przestrzeni (tzw. przestrzeń ortogonalna): zwykle rozważa się przestrzenie z iloczynem skalarnym (tzw. przestrzenie unitarne); w przypadku przestrzeni nieskończonego wymiaru zakłada się dodatkowo zupełność, co sprawia, że przestrzeń unitarna $V$ staje się przestrzenią Hilberta – istnienie zapewnia wtedy twierdzenie o rzucie ortogonalnym. W tym kontekście rzut ukośny nazywa się operatorem idempotentnym, a rzut ortogonalny znany jest jako operator rzutowy.

Rzut jest ortogonalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest i) samosprzężony^[g] lub ii) normalny lub iii) dodatni (dodatnio określony) lub iv) izometryczny. Rzuty ortogonalne są operatorami ograniczonymi (czyli ciągłymi), a gdy są nietrywialne: o jednostkowej normie operatorowej^[h]; z drugiej strony ograniczony (równoważnie: ciągły) operator liniowy $\mathrm {A}$ na przestrzeni Hilberta jest rzutem ortogonalnym wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathrm {A} ^{*}\mathrm {A} =\mathrm {A} .$

Gdy rozważana przestrzeń jest zespolona, gwiazdkę przy oznaczeniu macierzy należy interpretować jako sprzężenie hermitowskie, w pozostałych przypadkach – jako transpozycję; w przypadku przekształceń gwiazdka oznacza (antyliniowe) przekształcenie sprzężone do danego.

Jeśli $\mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{k}$ jest bazą ortonormalną podprzestrzeni $U$ zaś $\mathbf {A}$ oznacza macierz typu $n\times k,$ której kolumnami są $\mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{k},$ to macierz rzutu ortogonalnego dana jest wzorem

\mathbf {P} _{\mathbf {A} }=\mathbf {AA} ^{*}

i reprezentuje ona przekształcenie, które można zapisać jako^[i]

\mathrm {P} _{\mathrm {A} }(\cdot )=\sum _{i=1}^{k}\mathbf {u} _{i}\langle \mathbf {u} _{i},\cdot \rangle .

W szczególności rzut na prostą (przestrzeń jednowymiarową) rozpinaną przez wektor jednostkowy $\mathbf {u}$ dany jest wzorem $\mathrm {P} _{\mathbf {u} }(\cdot )=\mathbf {u} \langle \mathbf {u} ,\cdot \rangle ,$ a jego macierz ma postać $\mathbf {P} _{\mathbf {u} }=\mathbf {uu} ^{*}$ ^[j].

Macierz $\mathbf {A} ^{*}$ reprezentuje izometrię częściową $\mathrm {A} ^{*},$ która znika na dopełnieniu ortogonalnym podprzestrzeni $U,$ zaś $\mathrm {A}$ jest izometrią, która zanurza $U$ w przestrzeń $V.$

Warunek ortonormalności można opuścić; jeżeli $\mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{k}$ jest bazą (niekoniecznie ortonormalną), a macierz $\mathbf {A}$ zawiera te wektory jako kolumny, to rzut ma postać^[k]

\mathbf {P} _{\mathbf {A} }=\mathbf {A} (\mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {A} ^{*}.

Reprezentowane przez tę macierz przekształcenie nadal zanurza $U$ w przestrzeń $V,$ jednak nie musi być już izometrią.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przekształcenie tożsamościowe jest rzutem ortogonalnym reprezentowanym przez macierz jednostkową, np. $\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right]$ (operator jednostkowy jest operatorem rzutowym).

Przekształcenie liniowe, którego macierz ma postać $\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right],$ jest rzutem ortogonalnym, podczas gdy zadane macierzą $\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right]$ jest rzutem (ukośnym), ale nie ortogonalnym (pierwsza macierz opisuje operator rzutowy, druga – tylko idempotentny).

Przestrzeń $\mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )$ funkcji rzeczywistych całkowalnych z kwadratem (w sensie Lebesgue’a) jest ortogonalną sumą prostą przestrzeni $M,N$ funkcji parzystych i nieparzystych; rzuty $\mathrm {P} _{M},\mathrm {P} _{N}$ odpowiednio na $M,N$ dane są wzorami^[l]
$\mathrm {P} _{M}f(x)={\tfrac {f(x)+f(-x)}{2}}\qquad {\text{ oraz }}\qquad \mathrm {P} _{N}f(x)={\tfrac {f(x)-f(-x)}{2}},$

przy czym

\mathrm {I} -\mathrm {P} _{M}=\mathrm {P} _{N}.

Niech $A$ będzie zbiorem mierzalnym $\mathbb {R} ,$ np. przedziałem, z funkcją charakterystyczną $\chi _{A}.$ Wówczas^[l] $\mathrm {P} _{A}f(x)=\chi _{A}(x)f(x)$ jest rzutem ortogonalnym $\mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )$ na podprzestrzeń funkcji o nośniku zawartym w domknięciu ${\overline {A}}.$

Zamiast wspomnianej wcześniej przestrzeni Hilberta $\mathbb {R} ^{n}$ z operatorem $\mathrm {P} _{\mathbf {u} }(\mathbf {x} )=\mathbf {uu} ^{*}\mathbf {x}$ można rozważać inne: w przypadku przestrzeni ciągów $\ell ^{2}(\mathbb {Z} ),$ gdy $\mathbf {u} =\mathbf {e} _{n},$ gdzie $\mathbf {e} _{n}=\left(\delta _{k,n}\right)_{k=-\infty }^{+\infty }$ ^[m], oraz $\mathbf {x} =(x_{k}),$ to rzut przyjmuje postać $\mathrm {P} _{\mathbf {e} _{n}}(\mathbf {x} )=x_{n}\mathbf {e} _{n}.$

Jeśli z kolei dana jest przestrzeń $\mathrm {L} ^{2}(\mathbb {T} )$ jest przestrzenią funkcji o okresie $2\pi$ ^[n], a $u=1/{\sqrt {2\pi }}$ jest funkcją stałą o jednostkowej normie, to rzut ortogonalny $\mathrm {P} _{u}$ przekształca funkcję $f$ w jej średnią $\langle f\rangle ,$ gdzie
$\langle f\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\!\!f(x)\ \mathrm {d} x.$

Odpowiadający temu rzutowi rozkład ortogonalny,

f(x)=\langle f\rangle +f'(x),

rozbija funkcję na stałą część średnią

\langle f\rangle

i zmienną część

f'

o zerowej średniej.

Stosowany w matematycznym opisie mechaniki kwantowej operator liczby cząstek dla fermionów jest operatorem rzutowym.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

↑ Etymologia w artykule projekcja.
↑ Wystarczy przyjąć $\mathbf {u} =\mathrm {P} (\mathbf {v} )$ oraz $\mathbf {w} =\mathbf {v} -\mathbf {u} ,$ wtedy
${\begin{aligned}\mathrm {P} (\mathbf {w} )&=\mathrm {P} {\big (}\mathbf {v} -\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big )}=\mathrm {P} (\mathbf {v} )-\mathrm {P} ^{2}(\mathbf {v} )\\&=\mathrm {P} (\mathbf {v} )-\mathrm {P} (\mathbf {v} )=\mathbf {0} .\end{aligned}}$
Jedyność tego przedstawienia wynika z obserwacji działania $\mathrm {P}$ na $\mathbf {v} ,$ mianowicie $\mathrm {P} (\mathbf {v} )=\mathrm {P} (\mathbf {w} +\mathbf {u} )=\mathrm {P} (\mathbf {w} )+\mathrm {P} (\mathbf {u} )=\mathbf {0} +\mathbf {u} =\mathbf {u} .$
↑ Niech $\mathbf {v}$ będzie wektorem własnym stowarzyszonym z wartością własną $\lambda$ rzutu $\mathrm {P} .$ Wówczas
$\lambda \mathbf {u} =\mathrm {P} (\mathbf {u} )=\mathrm {P} {\big (}\mathrm {P} (\mathbf {u} ){\big )}=\mathrm {P} (\lambda \mathbf {u} )=\lambda ^{2}\mathbf {u} ,$
a ponieważ $\mathbf {u} \neq \mathbf {0} ,$ to $\lambda =\lambda ^{2},$ czyli $\lambda (\lambda -1)=0,$ skąd $\lambda =0$ lub $\lambda =1.$
↑ Niech $\mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{k}$ będą bazą $U.$ Wówczas zakładając, że $\mathbf {u} _{i}=\mathrm {P} (\mathbf {v} _{i}),$ otrzymuje się $\mathrm {P} (\mathbf {u} _{i})=\mathrm {P} ^{2}(\mathbf {v} _{i})=\mathrm {P} (\mathbf {v} _{i})=\mathbf {u} _{i}$ $(i=1,\dots ,k),$ zatem dowolny niezerowy wektor w obrazie $P$ jest wektorem własnym z wartością własną $\lambda =1.$ W ten sposób wymiar przestrzeni własnej $\mathrm {P}$ dla wartości własnej $\lambda =1$ jest niemniejszy niż rząd $\mathrm {P} .$ Z twierdzenia o rzędzie wynika jednak, że $\dim \mathrm {im\;P} +\dim \ker \mathrm {P} =\dim V_{1}(\mathrm {P} )+\dim V_{0}(\mathrm {P} )=\dim V$ (gdyż $\ker \mathrm {P} =\dim V_{0}(\mathrm {P} )$ ) dlatego suma wymiarów dwóch podprzestrzeni jest równa wymiarowi całej przestrzeni $V.$ Bazy obrazu i jądra tworzą razem bazę wektorów własnych $V,$ tzn. $V=\mathrm {im\;P} \oplus \ker \mathrm {P} ,$ stąd $\mathrm {P}$ jest diagonalizowalny i wymiar przestrzeni własnej $\mathrm {P}$ dla wartości własnej $\lambda =1$ jest równy rzędowi $\mathrm {P} .$ Ponieważ ślad jest sumą wartości własnych (w ciele charakterystyki 0), to $\mathrm {rank\;P} =\dim \mathrm {im\;P} =\dim V_{1}(\mathrm {P} )=\mathrm {tr\;P} .$
↑ Jeśli $\mathrm {A} =\mathrm {BDB} ^{-1},$ gdzie $\mathrm {D}$ jest jednokładnością (tj. przekształceniem, którego macierz jest macierzą diagonalną) wyłącznie z wartościami własnymi równymi zeru lub jedynce (na przekątnej głównej), to
$\mathrm {A} ^{2}=\mathrm {BDB} ^{-1}\mathrm {BDB} ^{-1}=\mathrm {B} \mathrm {D} ^{2}\mathrm {B} ^{-1}=\mathrm {B} \mathrm {D} \mathrm {B} ^{-1}=\mathrm {A} ,$
gdyż $\mathrm {D} ^{2}=\mathrm {D} ,$ zatem $\mathrm {A} ^{2}=\mathrm {A} ,$ a więc $\mathrm {A}$ jest idempotentne, czyli jest rzutem.
↑ Z bezpośredniego rachunku wynika, że
${\begin{aligned}\mathrm {Q} ^{2}&=(\mathrm {I} -\mathrm {P} )^{2}=(\mathrm {I} -\mathrm {P} )(\mathrm {I} -\mathrm {P} )\\&=\mathrm {I} ^{2}-\mathrm {PI} -\mathrm {IP} +\mathrm {P} ^{2}\\&=\mathrm {I} -2\mathrm {P} +\mathrm {P} =\mathrm {I} -\mathrm {P} =\mathrm {Q} \end{aligned}},$
czyli $\mathrm {Q} ^{2}=\mathrm {Q} .$
↑ Wychodząc od samosprzężoności i idempotentności $\mathrm {P}$ oraz dowolnych wektorów $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V$ otrzymuje się $\mathrm {P} (\mathbf {u} )\in U,$ $\mathbf {v} -\mathrm {P} (\mathbf {v} )\in W$ oraz
${\begin{aligned}&{\big \langle }\mathrm {P} (\mathbf {u} ),\mathbf {v} -\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \rangle }\\&={\big \langle }\mathrm {P} ^{2}(\mathbf {u} ),\mathbf {v} -\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \rangle }\\&={\big \langle }\mathrm {P} (\mathbf {u} ),\mathrm {P} (\mathrm {I} -\mathrm {P} )(\mathbf {v} ){\big \rangle }={\big \langle }\mathrm {P} (\mathbf {u} ),(\mathrm {P} -\mathrm {P} ^{2})(\mathbf {v} ){\big \rangle }\\&={\big \langle }\mathrm {P} (\mathbf {u} ),\mathbf {0} {\big \rangle }=0\end{aligned}},$
gdzie $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ oznacza iloczyn skalarny przestrzeni $V,$ a $\mathrm {I}$ to operator tożsamościowy. Stąd $\mathrm {P} (\mathbf {v} )$ oraz $\mathbf {v} -\mathrm {P} (\mathbf {v} )$ są ortogonalne. W drugą stronę, z ortogonalności rzutu $\mathrm {P}$ wynika jego samosprzężoność, gdyż
${\big \langle }\mathbf {u} ,\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \rangle }={\big \langle }\mathrm {P} (\mathbf {u} ),\mathbf {v} {\big \rangle }={\big \langle }\mathbf {u} ,\mathrm {P} ^{*}(\mathbf {v} ){\big \rangle }$
dla dowolnych $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V;$ zatem istotnie $\mathrm {P} =\mathrm {P} ^{*}.$
↑ Dla dowolnego wektora $\mathbf {v} \in V$ z nierówności Cauchy’ego–Schwarza jest
${\big \|}\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \|}^{2}={\big \langle }\mathrm {P} (\mathbf {v} ),\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \rangle }={\big \langle }\mathrm {P} (\mathbf {v} ),\mathbf {v} {\big \rangle }\leqslant {\big \|}\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \|}\ \|\mathbf {v} \|,$
czyli ${\big \|}\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \|}\leqslant \|\mathbf {v} \|,$ co oznacza, że $\mathrm {P}$ jest ograniczony, przy czym norma operatorowa $\|\mathrm {P} \|\leqslant 1.$ Jeśli $\mathrm {P} \neq \mathrm {\theta } ,$ to istnieje $\mathbf {v} ,$ dla którego $\mathrm {P} (\mathbf {v} )\neq \mathbf {0}$ oraz ${\big \|}\mathrm {P} ^{2}(\mathbf {v} ){\big \|}={\big \|}\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \|},$ a więc $\|\mathrm {P} \|\geqslant 1.$ Dlatego ostatecznie $\|\mathrm {P} \|=1.$
↑ W notacji Diraca jest $\mathrm {P} _{\mathrm {A} }=\sum _{i=1}^{k}|\mathbf {u} _{i}\rangle \langle \mathbf {u} _{i}|.$
↑ Wtedy $\mathbf {P} _{\mathbf {u} }(\mathbf {x} )=\mathbf {uu} ^{*}\mathbf {x} .$ W stosowanej głównie w fizyce notacji Diraca jest $\mathrm {P} _{\mathbf {u} }=|\mathbf {u} \rangle \langle \mathbf {u} |;$ wówczas $\mathrm {P} _{\mathbf {u} }(\mathbf {x} )=|\mathbf {u} \rangle \ \langle \mathbf {u} |\mathbf {x} \rangle .$ W matematyce zwykle zapisuje się $\mathrm {P} _{\mathbf {u} }=\mathbf {u} \otimes \mathbf {u}$ za pomocą iloczynu tensorowego (a dokładnie: iloczynu diadycznego).
↑ Macierz $(\mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} )^{-1}$ jest „czynnikiem normującym”, który odzyskuje normę: operator pierwszego rzędu $\mathbf {uu} ^{*}$ jest rzutem, tylko gdy $\|\mathbf {u} \|=1;$ dzieląc przez $\mathbf {u} ^{*}\mathbf {u} =\|\mathbf {u} \|^{2}$ otrzymuje się rzut $\mathbf {u} (\mathbf {u} ^{*}\mathbf {u} )^{-1}\mathbf {u} ^{*}=\mathbf {uu} ^{*}/\|\mathbf {u} \|^{2}$ na podprzestrzeń $\mathrm {span\;} \mathbf {u} .$
↑ ^a ^b Oznaczenia $\mathrm {P} _{X}f(x)$ należy rozumieć jako ${\big (}\mathrm {P} _{X}(f){\big )}(x),$ gdzie $\mathrm {P} _{X}(f)$ jest operatorem, którego argumenty i wartości są funkcjami z przestrzeni $\mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} ),$ tzn. $\mathrm {P} _{X}\colon \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )\to \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )$ dla pewnej podprzestrzeni $X$ przestrzeni $\mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} ).$
↑ Zob. delta Kroneckera $\delta _{k,n}.$
↑ Por. grupa okręgu $\mathbb {T} .$

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

F.W. Gehring, P.R. Halmos, C.C Moore: A Course in Functional Analysis. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985.

[1] Etymologia w artykule projekcja.

[2] Wystarczy przyjąć $\mathbf {u} =\mathrm {P} (\mathbf {v} )$ oraz $\mathbf {w} =\mathbf {v} -\mathbf {u} ,$ wtedy
${\begin{aligned}\mathrm {P} (\mathbf {w} )&=\mathrm {P} {\big (}\mathbf {v} -\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big )}=\mathrm {P} (\mathbf {v} )-\mathrm {P} ^{2}(\mathbf {v} )\\&=\mathrm {P} (\mathbf {v} )-\mathrm {P} (\mathbf {v} )=\mathbf {0} .\end{aligned}}$
Jedyność tego przedstawienia wynika z obserwacji działania $\mathrm {P}$ na $\mathbf {v} ,$ mianowicie $\mathrm {P} (\mathbf {v} )=\mathrm {P} (\mathbf {w} +\mathbf {u} )=\mathrm {P} (\mathbf {w} )+\mathrm {P} (\mathbf {u} )=\mathbf {0} +\mathbf {u} =\mathbf {u} .$

[3] Niech $\mathbf {v}$ będzie wektorem własnym stowarzyszonym z wartością własną $\lambda$ rzutu $\mathrm {P} .$ Wówczas
$\lambda \mathbf {u} =\mathrm {P} (\mathbf {u} )=\mathrm {P} {\big (}\mathrm {P} (\mathbf {u} ){\big )}=\mathrm {P} (\lambda \mathbf {u} )=\lambda ^{2}\mathbf {u} ,$
a ponieważ $\mathbf {u} \neq \mathbf {0} ,$ to $\lambda =\lambda ^{2},$ czyli $\lambda (\lambda -1)=0,$ skąd $\lambda =0$ lub $\lambda =1.$

[4] Niech $\mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{k}$ będą bazą $U.$ Wówczas zakładając, że $\mathbf {u} _{i}=\mathrm {P} (\mathbf {v} _{i}),$ otrzymuje się $\mathrm {P} (\mathbf {u} _{i})=\mathrm {P} ^{2}(\mathbf {v} _{i})=\mathrm {P} (\mathbf {v} _{i})=\mathbf {u} _{i}$ $(i=1,\dots ,k),$ zatem dowolny niezerowy wektor w obrazie $P$ jest wektorem własnym z wartością własną $\lambda =1.$ W ten sposób wymiar przestrzeni własnej $\mathrm {P}$ dla wartości własnej $\lambda =1$ jest niemniejszy niż rząd $\mathrm {P} .$ Z twierdzenia o rzędzie wynika jednak, że $\dim \mathrm {im\;P} +\dim \ker \mathrm {P} =\dim V_{1}(\mathrm {P} )+\dim V_{0}(\mathrm {P} )=\dim V$ (gdyż $\ker \mathrm {P} =\dim V_{0}(\mathrm {P} )$ ) dlatego suma wymiarów dwóch podprzestrzeni jest równa wymiarowi całej przestrzeni $V.$ Bazy obrazu i jądra tworzą razem bazę wektorów własnych $V,$ tzn. $V=\mathrm {im\;P} \oplus \ker \mathrm {P} ,$ stąd $\mathrm {P}$ jest diagonalizowalny i wymiar przestrzeni własnej $\mathrm {P}$ dla wartości własnej $\lambda =1$ jest równy rzędowi $\mathrm {P} .$ Ponieważ ślad jest sumą wartości własnych (w ciele charakterystyki 0), to $\mathrm {rank\;P} =\dim \mathrm {im\;P} =\dim V_{1}(\mathrm {P} )=\mathrm {tr\;P} .$

[5] Jeśli $\mathrm {A} =\mathrm {BDB} ^{-1},$ gdzie $\mathrm {D}$ jest jednokładnością (tj. przekształceniem, którego macierz jest macierzą diagonalną) wyłącznie z wartościami własnymi równymi zeru lub jedynce (na przekątnej głównej), to
$\mathrm {A} ^{2}=\mathrm {BDB} ^{-1}\mathrm {BDB} ^{-1}=\mathrm {B} \mathrm {D} ^{2}\mathrm {B} ^{-1}=\mathrm {B} \mathrm {D} \mathrm {B} ^{-1}=\mathrm {A} ,$
gdyż $\mathrm {D} ^{2}=\mathrm {D} ,$ zatem $\mathrm {A} ^{2}=\mathrm {A} ,$ a więc $\mathrm {A}$ jest idempotentne, czyli jest rzutem.

[6] Z bezpośredniego rachunku wynika, że
${\begin{aligned}\mathrm {Q} ^{2}&=(\mathrm {I} -\mathrm {P} )^{2}=(\mathrm {I} -\mathrm {P} )(\mathrm {I} -\mathrm {P} )\\&=\mathrm {I} ^{2}-\mathrm {PI} -\mathrm {IP} +\mathrm {P} ^{2}\\&=\mathrm {I} -2\mathrm {P} +\mathrm {P} =\mathrm {I} -\mathrm {P} =\mathrm {Q} \end{aligned}},$
czyli $\mathrm {Q} ^{2}=\mathrm {Q} .$

[7] Wychodząc od samosprzężoności i idempotentności $\mathrm {P}$ oraz dowolnych wektorów $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V$ otrzymuje się $\mathrm {P} (\mathbf {u} )\in U,$ $\mathbf {v} -\mathrm {P} (\mathbf {v} )\in W$ oraz
${\begin{aligned}&{\big \langle }\mathrm {P} (\mathbf {u} ),\mathbf {v} -\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \rangle }\\&={\big \langle }\mathrm {P} ^{2}(\mathbf {u} ),\mathbf {v} -\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \rangle }\\&={\big \langle }\mathrm {P} (\mathbf {u} ),\mathrm {P} (\mathrm {I} -\mathrm {P} )(\mathbf {v} ){\big \rangle }={\big \langle }\mathrm {P} (\mathbf {u} ),(\mathrm {P} -\mathrm {P} ^{2})(\mathbf {v} ){\big \rangle }\\&={\big \langle }\mathrm {P} (\mathbf {u} ),\mathbf {0} {\big \rangle }=0\end{aligned}},$
gdzie $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ oznacza iloczyn skalarny przestrzeni $V,$ a $\mathrm {I}$ to operator tożsamościowy. Stąd $\mathrm {P} (\mathbf {v} )$ oraz $\mathbf {v} -\mathrm {P} (\mathbf {v} )$ są ortogonalne. W drugą stronę, z ortogonalności rzutu $\mathrm {P}$ wynika jego samosprzężoność, gdyż
${\big \langle }\mathbf {u} ,\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \rangle }={\big \langle }\mathrm {P} (\mathbf {u} ),\mathbf {v} {\big \rangle }={\big \langle }\mathbf {u} ,\mathrm {P} ^{*}(\mathbf {v} ){\big \rangle }$
dla dowolnych $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V;$ zatem istotnie $\mathrm {P} =\mathrm {P} ^{*}.$

[8] Dla dowolnego wektora $\mathbf {v} \in V$ z nierówności Cauchy’ego–Schwarza jest
${\big \|}\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \|}^{2}={\big \langle }\mathrm {P} (\mathbf {v} ),\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \rangle }={\big \langle }\mathrm {P} (\mathbf {v} ),\mathbf {v} {\big \rangle }\leqslant {\big \|}\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \|}\ \|\mathbf {v} \|,$
czyli ${\big \|}\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \|}\leqslant \|\mathbf {v} \|,$ co oznacza, że $\mathrm {P}$ jest ograniczony, przy czym norma operatorowa $\|\mathrm {P} \|\leqslant 1.$ Jeśli $\mathrm {P} \neq \mathrm {\theta } ,$ to istnieje $\mathbf {v} ,$ dla którego $\mathrm {P} (\mathbf {v} )\neq \mathbf {0}$ oraz ${\big \|}\mathrm {P} ^{2}(\mathbf {v} ){\big \|}={\big \|}\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \|},$ a więc $\|\mathrm {P} \|\geqslant 1.$ Dlatego ostatecznie $\|\mathrm {P} \|=1.$

[9] W notacji Diraca jest $\mathrm {P} _{\mathrm {A} }=\sum _{i=1}^{k}|\mathbf {u} _{i}\rangle \langle \mathbf {u} _{i}|.$

[10] Wtedy $\mathbf {P} _{\mathbf {u} }(\mathbf {x} )=\mathbf {uu} ^{*}\mathbf {x} .$ W stosowanej głównie w fizyce notacji Diraca jest $\mathrm {P} _{\mathbf {u} }=|\mathbf {u} \rangle \langle \mathbf {u} |;$ wówczas $\mathrm {P} _{\mathbf {u} }(\mathbf {x} )=|\mathbf {u} \rangle \ \langle \mathbf {u} |\mathbf {x} \rangle .$ W matematyce zwykle zapisuje się $\mathrm {P} _{\mathbf {u} }=\mathbf {u} \otimes \mathbf {u}$ za pomocą iloczynu tensorowego (a dokładnie: iloczynu diadycznego).

[11] Macierz $(\mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} )^{-1}$ jest „czynnikiem normującym”, który odzyskuje normę: operator pierwszego rzędu $\mathbf {uu} ^{*}$ jest rzutem, tylko gdy $\|\mathbf {u} \|=1;$ dzieląc przez $\mathbf {u} ^{*}\mathbf {u} =\|\mathbf {u} \|^{2}$ otrzymuje się rzut $\mathbf {u} (\mathbf {u} ^{*}\mathbf {u} )^{-1}\mathbf {u} ^{*}=\mathbf {uu} ^{*}/\|\mathbf {u} \|^{2}$ na podprzestrzeń $\mathrm {span\;} \mathbf {u} .$

[funarg-12] Oznaczenia $\mathrm {P} _{X}f(x)$ należy rozumieć jako ${\big (}\mathrm {P} _{X}(f){\big )}(x),$ gdzie $\mathrm {P} _{X}(f)$ jest operatorem, którego argumenty i wartości są funkcjami z przestrzeni $\mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} ),$ tzn. $\mathrm {P} _{X}\colon \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )\to \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )$ dla pewnej podprzestrzeni $X$ przestrzeni $\mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} ).$

[13] Zob. delta Kroneckera $\delta _{k,n}.$

[14] Por. grupa okręgu $\mathbb {T} .$

[a]

[b]

[c]

[d]

[e]

[f]

[g]

[h]

[i]

[j]

[k]

[l]

[m]

[n]

Wektory i działania na nich	Zwrot wektora Wektor jednostkowy Mnożenie przez skalar Iloczyn wektorowy Reguła śruby prawoskrętnej Reguła prawej dłoni Symbol Leviego-Civity
Układy wektorów i ich macierze	Macierz zerowa Macierz jednostkowa Macierz skalarna Macierz diagonalna Macierz trójkątna Macierz schodkowa Rząd macierzy Operacje elementarne Macierze podobne Metoda eliminacji Gaussa Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyznaczniki i miara układu wektorów	Wyznacznik Permutacja Minor Rozwinięcie Laplace’a Wzory Cramera Reguła Sarrusa Iloczyn mieszany
Przestrzenie liniowe	Przestrzeń euklidesowa Przykłady przestrzeni liniowych Podprzestrzeń liniowa Baza Baza standardowa
Odwzorowania liniowe i ich macierze	Przekształcenie liniowe Macierz przekształcenia liniowego Twierdzenie o rzędzie Dodawanie macierzy Mnożenie macierzy Twierdzenie Cauchy’ego (teoria wyznaczników) Macierz odwrotna Elementarne macierze transformacji Macierz obrotu Rzut Macierz idempotentna Macierz nilpotentna
Diagonalizacja	Widmo macierzy Wielomian charakterystyczny Twierdzenie Cayleya-Hamiltona Twierdzenie spektralne
Iloczyny skalarne	Iloczyn skalarny Symbol Kroneckera Ortogonalność Ortonormalność Baza ortonormalna Ortogonalizacja Grama-Schmidta
Pojęcia zaawansowane	Tensor Twierdzenie o bezwładności form kwadratowych
Pozostałe pojęcia	Stożek wypukły Pseudoskalar Pseudowektor Przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa) Przestrzeń afiniczna
Powiązane dyscypliny	Algebra abstrakcyjna Teoria grup Analiza funkcjonalna Analiza numeryczna Programowanie liniowe Mechanika kwantowa
Znani uczeni	Girolamo Cardano Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz Gabriel Cramer Augustin Louis Cauchy Arthur Cayley James Joseph Sylvester Hermann Grassmann Leopold Kronecker Hermann Weyl Saunders Mac Lane