Rzut (algebra liniowa)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Disambig.svg Na tę stronę wskazuje przekierowanie z „rzut ortogonalny”. Zobacz też: rzut prostokątny w geometrii elementarnej.
Rzut ortogonalny \scriptstyle \mathrm P na prostą \scriptstyle m.

Rzut lub projekcja[1] – w algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej uogólnienie pojęcia rzutu znanego z geometrii elementarnej: idempotentny endomorfizm liniowy określony na danej przestrzeni liniowej, czyli operator liniowy zachowujący swój obraz, tzn. dla którego każdy element obrazu jest punktem stałym tego przekształcenia.

W przestrzeniach unitarnych (tzn. z iloczynem skalarnym, np. przestrzeniach euklidesowych) rzuty/projekcje samosprzężone nazywa się ortogonalnymi; są one uogólnieniem pojęcia rzutu prostokątnego z geometrii euklidesowej.

Charakteryzacja[edytuj | edytuj kod]

Niech dana będzie przestrzeń liniowa \scriptstyle V (nad ustalonym ciałem). Przekształcenie liniowe \scriptstyle \mathrm P\colon V \to V wspomnianej przestrzeni w siebie spełniające warunek

\mathrm P^2 = \mathrm P,

czyli \scriptstyle \mathrm P\big(\mathrm P(\mathbf v)\big) = \mathrm P(\mathbf v) dla każdego \scriptstyle \mathbf v \in V nazywa się rzutem lub projekcją.

Odwzorowanie \scriptstyle \mathrm P można scharakteryzować w następujący sposób: dowolny wektor \scriptstyle \mathbf v \in V można przedstawić w jednoznaczny sposób w postaci sumy \scriptstyle \mathbf v = \mathbf w + \mathbf u, gdzie \scriptstyle \mathbf w \in \ker \mathrm P oraz \scriptstyle \mathbf u \in \mathrm{im\; P}[2]. Oznacza to, że \scriptstyle V = \ker \mathrm P \oplus \mathrm{im\; P}, czyli \scriptstyle V jest sumą prostą jądra i obrazu \scriptstyle \mathrm P. Jeżeli \scriptstyle V jest skończeniewymiarowa, zaś \scriptstyle U jest jej podprzestrzenią liniową, to na mocy twierdzenia o rzędzie istnieje rzut \scriptstyle \mathrm P, dla którego \scriptstyle \mathrm{im\; P} = U (jeśli \scriptstyle 0 < \dim U < \dim V, to rzutów określonych na \scriptstyle V o obrazie \scriptstyle U jest nieskończenie wiele).

W ogólności dla danych podprzestrzeni \scriptstyle W, U przestrzeni \scriptstyle V spełniających \scriptstyle V = W \oplus U przekształcenie \scriptstyle \mathrm P\colon V \to V nazywa się rzutem na \scriptstyle U wzdłuż \scriptstyle W, jeśli dla każdego \scriptstyle \mathbf v \in V zachodzi

\mathrm P(\mathbf v) = \mathbf u

dla pewnego \scriptstyle \mathbf u \in U. Jeżeli \scriptstyle V = W \perp U jest ortogonalną sumą prostą, to \scriptstyle \mathrm P nazywa się rzutem ortogonalnym (na \scriptstyle U); wtedy \scriptstyle W = U^\perp jest dopełnieniem ortogonalnym \scriptstyle U, czyli zachodzi \scriptstyle V = U^\perp \oplus U.

Przypisy

  1. Etymologia w artykule projekcja.
  2. Wystarczy przyjąć \scriptstyle \mathbf u = \mathrm P(\mathbf v) oraz \scriptstyle \mathbf w = \mathbf v - \mathbf u, wtedy \scriptstyle \mathrm P(\mathbf w) = \mathrm P\big(\mathbf v - \mathrm P(\mathbf v)\big) = \mathrm P(\mathbf v) - \mathrm P^2(\mathbf v) = \mathrm P(\mathbf v) - \mathrm P(\mathbf v) = \mathbf 0. Jedyność tego przedstawienia wynika z obserwacji działania \scriptstyle \mathrm P na \scriptstyle \mathbf v, mianowicie \scriptstyle \mathrm P(\mathbf v) = \mathrm P(\mathbf w + \mathbf u) = \mathrm P(\mathbf w) + \mathrm P(\mathbf u) = \mathbf 0 + \mathbf u = \mathbf u.