Rzut (algebra liniowa)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Na tę stronę wskazuje przekierowanie z „rzut ortogonalny”. Zobacz też: rzut prostokątny w geometrii elementarnej.

Rzut lub projekcja[a] – uogólnienie pojęcia rzutu znanego z geometrii elementarnej: idempotentny endomorfizm liniowy określony na danej przestrzeni liniowej, czyli operator liniowy zachowujący swój obraz, tzn. dla którego każdy element obrazu jest punktem stałym tego przekształcenia.

W przestrzeniach unitarnych (tzn. z iloczynem skalarnym, np. przestrzeniach euklidesowych) rzuty/projekcje samosprzężone nazywa się ortogonalnymi; są one uogólnieniem pojęcia rzutu prostokątnego z geometrii euklidesowej (zob. osobna sekcja).

Rzut ukośny[edytuj]

Rzut wzdłuż prostej na prostą

Niech dana będzie przestrzeń liniowa (nad ustalonym ciałem). Przekształcenie liniowe tej przestrzeni w siebie spełniające warunek idempotentności

czyli dla każdego nazywa się rzutem (ukośnym) lub projekcją.

Odwzorowanie można scharakteryzować w następujący sposób: dowolny wektor można przedstawić w jednoznaczny sposób w postaci sumy gdzie oraz [b]. Oznacza to, że czyli jest sumą prostą jądra i obrazu Jeżeli jest skończeniewymiarowa, zaś jest jej podprzestrzenią liniową, to na mocy twierdzenia o rzędzie istnieje rzut dla którego (jeśli to rzutów określonych na o obrazie jest nieskończenie wiele).

Dla danych podprzestrzeni przestrzeni spełniających przekształcenie nazywa się rzutem na wzdłuż jeśli dla każdego zachodzi

oraz

Jedynymi wartościami własnymi rzutu są zero i jedynka, tzn. widmo rzutu jest równe [c]; ponadto rzut jest diagonalizowalny i w szczególności (w ciele charakterystyki zerowej) jego ślad jest równy wymiarowi obrazu[d]. Z drugiej strony, jeśli przekształcenie ma widmo i jest diagonalizowalne, to jest rzutem[e].

Rzut ortogonalny[edytuj]

Rzut ortogonalny na prostą

Jeżeli jest ortogonalną sumą prostą, to nazywa się rzutem ortogonalnym (na ); wtedy jest dopełnieniem ortogonalnym czyli zachodzi a więc gdzie oraz oznaczają odpowiednio obraz i jądro rzutu

Konstrukcja ortogonalnej sumy prostej wymaga istnienia (niezdegenerowanej) symetrycznej formy dwuliniowej określonej na przestrzeni (tzw. przestrzeń ortogonalna): zwykle rozważa się przestrzenie z iloczynem skalarnym (tzw. przestrzenie unitarne); w przypadku przestrzeni nieskończonego wymiaru zakłada się dodatkowo zupełność, co sprawia, że przestrzeń unitarna staje się przestrzenią Hilberta — istnienie zapewnia wtedy twierdzenie o rzucie ortogonalnym. W tym kontekście rzut ukośny nazywa się operatorem idempotentnym, a rzut ortogonalny znany jest jako operator rzutowy.

Rzut jest ortogonalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest i) samosprzężony[f] lub ii) normalny lub iii) dodatni (dodatnio określony) lub iv) izometryczny. Rzuty ortogonalne są operatorami ograniczonymi (czyli ciągłymi), a gdy są nietrywialne: o jednostkowej normie operatorowej[g]; z drugiej strony ograniczony (równoważnie: ciągły) operator liniowy na przestrzeni Hilberta jest rzutem ortogonalnym wtedy i tylko wtedy, gdy

Gdy rozważana przestrzeń jest zespolona, gwiazdkę przy oznaczeniu macierzy należy interpretować jako sprzężenie hermitowskie, w pozostałych przypadkach – jako transpozycję; w przypadku przekształceń gwiazdka oznacza (antyliniowe) przekształcenie sprzężone do danego.

Jeśli jest bazą ortonormalną podprzestrzeni zaś oznacza macierz typu której kolumnami są to macierz rzutu ortogonalnego dana jest wzorem

i reprezentuje ona przekształcenie, które można zapisać jako[h]

W szczególności można rozważać rzut na prostą (przestrzeń jednowymiarową) rozpinaną przez wektor jednostkowy wtedy ma macierz [i].

Macierz reprezentuje izometrię częściową która znika na dopełnieniu ortogonalnym podprzestrzeni zaś jest izometrią, która zanurza w przestrzeń

Warunek ortonormalności można opuścić; jeżeli jest bazą (niekoniecznie ortonormalną), a macierz zawiera te wektory jako kolumny, to rzut ma postać[j]

Reprezentowane przez tę macierz przekształcenie nadal zanurza w przestrzeń jednak nie musi być już izometrią.

Przykłady[edytuj]

  • Przekształcenie liniowe zadane macierzą jest rzutem (ukośnym), ale nie ortogonalnym (opisuje operator idempotentny, ale nie samosprzężony/rzutowy).
  • Przestrzeń funkcji rzeczywistych całkowalnych z kwadratem (w sensie Lebesgue’a) jest ortogonalną sumą prostą przestrzeni funkcji parzystych i nieparzystych; rzuty odpowiednio na dane są wzorami[k]
przy czym
  • Niech będzie zbiorem mierzalnym np. przedziałem, z funkcją charakterystyczną Wówczas[k] jest rzutem ortogonalnym na podprzestrzeń funkcji o nośniku zawartym w domknięciu
  • Zamiast wspomnianej wcześniej przestrzeni Hilberta z operatorem można rozważać inne: w przypadku przestrzeni ciągów gdy gdzie [l], oraz to rzut przyjmuje postać
  • Jeśli z kolei dana jest przestrzeń jest przestrzenią funkcji o okresie [m], a jest funkcją stałą o jednostkowej normie, to rzut ortogonalny przekształca funkcję w jej średnią gdzie
Odpowiadający temu rzutowi rozkład ortogonalny, rozbija funkcję na stałą część średnią i zmienną część o zerowej średniej.

Bibliografia[edytuj]

  • F.W. Gehring, P.R. Halmos, C.C Moore: A Course in Functional Analysis. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985.

Uwagi

  1. Etymologia w artykule projekcja.
  2. Wystarczy przyjąć oraz wtedy Jedyność tego przedstawienia wynika z obserwacji działania na mianowicie
  3. Niech będzie wektorem własnym stowarzyszonym z wartością własną rzutu Wówczas
    a ponieważ to czyli skąd lub
  4. Niech będą bazą Wówczas zakładając, że otrzymuje się (), zatem dowolny niezerowy wektor w obrazie jest wektorem własnym z wartością własną W ten sposób wymiar przestrzeni własnej dla wartości własnej jest niemniejszy niż rząd Z twierdzenia o rzędzie wynika jednak, że (gdyż ) dlatego suma wymiarów dwóch podprzestrzeni jest równa wymiarowi całej przestrzeni Bazy obrazu i jądra tworzą razem bazę wektorów własnych tzn. stąd jest diagonalizowalny i wymiar przestrzeni własnej dla wartości własnej jest równy rzędowi Ponieważ ślad jest sumą wartości własnych (w ciele charakterystyki 0), to
  5. Jeśli gdzie jest macierzą diagonalną wyłącznie z wartościami własnymi równymi zeru lub jedynce na przekątnej głównej, to
    gdyż zatem a więc jest idempotentne, czyli jest rzutem.
  6. Wychodząc od samosprzężoności i idempotentności oraz dowolnych wektorów otrzymuje się oraz
    gdzie oznacza iloczyn skalarny przestrzeni a to operator tożsamościowy. Stąd oraz są ortogonalne. W drugą stronę, z ortogonalności rzutu wynika jego samosprzężoność, gdyż
    dla dowolnych zatem istotnie
  7. Dla dowolnego wektora z nierówności Cauchy’ego–Schwarza jest
    czyli co oznacza, że jest ograniczony, przy czym norma operatorowa Jeśli , to istnieje dla którego oraz a więc Dlatego ostatecznie
  8. W notacji Diraca jest
  9. Wtedy W stosowanej głównie w fizyce notacji Diraca jest wówczas W matematyce zwykle zapisuje się za pomocą iloczynu tensorowego (a dokładnie: iloczynu diadycznego).
  10. Macierz jest „czynnikiem normującym”, który odzyskuje normę: operator pierwszego rzędu jest rzutem, tylko gdy dzieląc przez otrzymuje się rzut na podprzestrzeń
  11. a b Oznaczenia należy rozumieć jako gdzie jest operatorem, którego argumenty i wartości są funkcjami z przestrzeni tzn. dla pewnej podprzestrzeni przestrzeni
  12. Zob. delta Kroneckera
  13. Por. grupa okręgu