Rzut (algebra liniowa)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Na tę stronę wskazuje przekierowanie z „rzut ortogonalny”. Zobacz też: rzut prostokątny w geometrii elementarnej.
Rzut ortogonalny na prostą

Rzut lub projekcja[1] – uogólnienie pojęcia rzutu znanego z geometrii elementarnej: idempotentny endomorfizm liniowy określony na danej przestrzeni liniowej, czyli operator liniowy zachowujący swój obraz, tzn. dla którego każdy element obrazu jest punktem stałym tego przekształcenia.

W przestrzeniach unitarnych (tzn. z iloczynem skalarnym, np. przestrzeniach euklidesowych) rzuty/projekcje samosprzężone nazywa się ortogonalnymi; są one uogólnieniem pojęcia rzutu prostokątnego z geometrii euklidesowej.

Definicja formalna i własności[edytuj]

Niech dana będzie przestrzeń liniowa (nad ustalonym ciałem). Przekształcenie liniowe przestrzeni w siebie spełniające warunek

czyli dla każdego nazywa się rzutem lub projekcją.

Odwzorowanie można scharakteryzować w następujący sposób: dowolny wektor można przedstawić w jednoznaczny sposób w postaci sumy gdzie oraz [2]. Oznacza to, że czyli jest sumą prostą jądra i obrazu Jeżeli jest skończeniewymiarowa, zaś jest jej podprzestrzenią liniową, to na mocy twierdzenia o rzędzie istnieje rzut dla którego (jeśli to rzutów określonych na o obrazie jest nieskończenie wiele).

W ogólności dla danych podprzestrzeni przestrzeni spełniających przekształcenie nazywa się rzutem na wzdłuż jeśli dla każdego zachodzi

Jeżeli jest ortogonalną sumą prostą, to nazywa się rzutem ortogonalnym (na ); wtedy jest dopełnieniem ortogonalnym czyli zachodzi

Przypisy

  1. Etymologia w artykule projekcja.
  2. Wystarczy przyjąć oraz wtedy Jedyność tego przedstawienia wynika z obserwacji działania na mianowicie