Równanie falowe

Równanie falowe – matematyczne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu opisujące ruch falowy.

Ogólną postacią równania falowego jest:

${\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=0,&u:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} ,x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} _{+}\\[2pt]u(x,0)=f(x),&f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=g(x),&g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \end{cases}}$

gdzie $\mathbb {R} _{+}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych.

W równaniu funkcja $u(x,t)$ jest niewiadomą opisującą wychylenie fali w punkcie $x$ w chwili $t.$ Zadane są początkowe położenie fali $f$ oraz początkowy impuls $g.$ Fizycznie stała $c$ oznacza prędkość rozchodzenia się fali w danym ośrodku (np. prędkość fali dźwiękowej to 343 m/s dla powietrza w temp 20 stopni C). Symbol $\triangle _{x}$ to laplasjan.

Skrótowo można wyrazić równanie falowe używając operatora d’Alemberta:

$\square u(x,t)=0.$

Rozwiązania równania falowego mają różne postaci i własności w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Najważniejsze równania falowe to przypadki $n=1,2,3.$

Równanie falowe jest ważne w mechanice kwantowej, gdyż opisuje falę de Broglie’a:

$e^{i(Et-{\vec {r}}\circ {\vec {p}})/\hbar }.$

Równanie falowe można wyprowadzić z równań Maxwella.

Rozwiązania równania falowego

Równanie struny i wzór d’Alemberta

Jednowymiarowe $(n=1)$ równanie falowe nazywa się równaniem struny lub równaniem fali płaskiej. Ma ono postać:

${\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=0,&u:\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} \\u(x,0)=f(x),&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=g(x),&g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \end{cases}}$

Bez uwzględnienia warunków brzegowych rozwiązaniem jest:

$u(x,t)=\alpha (x-ct)+\beta (x+ct),$

gdzie $\alpha ,\beta$ są dowolnie wybrane.

Przy założeniu regularności $f\in C^{2}(\mathbb {R} ),g\in C^{1}(\mathbb {R} )$ oraz uwzględnieniu warunku brzegowego rozwiązaniem jest:

$u(x,t)={\frac {f(x+ct)+f(x-ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \limits _{x-ct}^{x+ct}{g(z)\mathrm {d} z}.$

Jest to wzór d’Alemberta. Równanie struny jest wówczas poprawnie postawione.

Równanie struny półnieskończonej

Struna półnieskończona to jednowymiarowa struna przymocowana na stałe z jednego końca. Matematycznie odpowiada dodaniu dodatkowego warunku brzegowego:

$u(0,t)=0$ dla dowolnego $t\in \mathbb {R} .$

Rozwiązaniem zagadnienia struny półnieskończonej jest:

${\begin{cases}u(x,t)={\frac {f(x+ct)+f(x-ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \limits _{x-ct}^{x+ct}{g(z)\mathrm {d} z},&x\geqslant {}ct\\[2pt]u(x,t)={\frac {f(x+ct)-f(ct-x)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \limits _{ct-x}^{ct+x}{g(z)\mathrm {d} z},&x<ct\end{cases}}$

Równanie falowe w wymiarze 3 i wzór Kirchhoffa

Równanie falowe dla $n=3$ ma postać

${\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=0,&u:\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} \\u(x,0)=f(x),&f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=g(x),&g:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \end{cases}}$

Rozwiązanie równania można wyprowadzić za pomocą średnich sferycznych. Przy założeniu regularności $f\in {}C^{3}(\mathbb {R} ^{3}),g\in {}C^{2}(\mathbb {R} ^{3})$ rozwiązaniem jest:

$4\pi {}c^{2}{}\cdot {}u(x,t)={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{t}}\int \limits _{S^{2}(x,ct)}{f(z)\mathrm {d} \sigma (z)}\right)+{\frac {1}{t}}\int \limits _{S^{2}(x,ct)}{g(z)\mathrm {d} \sigma (z)}.$

Jest to wzór Kirchhoffa.

Równanie falowe w wymiarze 2 i wzór Poissona

Równanie falowe dla $n=2$ można rozwiązać metodą spadku. Przy założeniu regularności $f\in {}C^{3}(\mathbb {R} ^{3}),g\in {}C^{2}(\mathbb {R} ^{3})$ rozwiązaniem jest:

$2\pi {}c\cdot u(x,t)={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\int \limits _{D(x,ct)}{\frac {f(z)\mathrm {d} \sigma (z)}{\sqrt {c^{2}{}t^{2}-|z-x|^{2}}}}\right)+\int \limits _{D(x,ct)}{\frac {g(z)\mathrm {d} \sigma (z)}{\sqrt {c^{2}t^{2}-|z-x|^{2}}}}.$

Niejednorodne równanie falowe w wymiarze 3

Niejednorodne równanie falowe to równanie postaci:

${\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=h(x,t),&u:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} ,x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} _{+}\\[2pt]u(x,0)=0,\\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=0,\end{cases}}$

Równanie to można rozwiązać metodą całek Duhamela. Wynikiem jest:

$4\pi {}c^{2}u(x,t)=\int \limits _{0}^{ct}{\mathrm {d} r\int \limits _{S^{2}(x,r)}{h\left(z,t-{\frac {r}{c}}\right)}\mathrm {d} \sigma (z)}.$

Zaburzenia fali rozchodzą się więc po 4-wymiarowym stożku $|z-x|=ct.$

Zasada Huygensa

Zasada Huygensa opisuje pewną własność rozwiązania równania falowego, w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Podamy ją na przykładzie $n=3$ oraz $n=2.$

Załóżmy, że funkcje f, g mają zwarte nośniki $K\subseteq \mathbb {R} ^{n}.$

Niech $n=3.$ Ze wzoru Kirchhoffa wynika wówczas, że $u(x,t)\neq {}0$ tylko w pewnym skończonym czasie $t\in {}[t_{1},t_{2}].$ Zatem falę, np. dźwiękową, zgodnie z doświadczeniem, słychać od pewnego momentu, przez skończony czas.

Inaczej dzieje się dla $n=2.$ Ze wzoru Poissona wynika, iż fala zaczyna brzmieć i nigdy nie przestaje, choć jej amplituda maleje jak ${\frac {1}{t}}.$

Radiacyjna strzałka czasu

Równanie falowe opisuje fale zarówno wychodzące ze źródła (opóźnione), jak i wchodzące do źródła (przyspieszone). Mimo to obserwuje się tylko te pierwsze. Tę asymetrię nazywa się radiacyjną strzałką czasu. Najbardziej fundamentalną teorią, w której występuje równanie falowe i ten efekt, jest elektrodynamika klasyczna. Z tego względu mówi się też o elektromagnetycznej strzałce czasu.

Bibliografia

• Lawrence C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, PWN, 2002, Warszawa.
• Michał Heller, Tadeusz Pabjan: Elementy filozofii przyrody. Kraków: Copernicus Center Press, 2014. ISBN 978-83-7886-065-5.

Linki zewnętrzne

• Jacek Ciborowski, Krzysztof Turzyński, Kamerton i struna