Równanie parametryczne

Krzywa motylkowa jako przykład krzywej zdefiniowanej poprzez równanie parametryczne

Równanie parametryczne – równanie, które określa daną wielkość jako funkcję jednej lub kilku zmiennych nazywanych parametrami. Np. w kinematyce często jako parametr przyjmuje się czas $t$ – za jego pomocą opisuje się współrzędne wektora położenia ciała, prędkości, pędu, momentu pędu itp., które w ogólności zależą od czasu.

Równania parametryczne stosuje się też powszechnie do definicji krzywych lub powierzchni: za pomocą równań parametrycznych określa się współrzędne punktów krzywej lub powierzchni. Przy tym krzywa parametryczna jest funkcją jednego niezależnego parametru. Gdy są dwa parametry, to mamy do czynienia z powierzchnią parametryczną.

Przykłady dwuwymiarowe

Parabola

Równanie paraboli

$y=x^{2}$

można sparametryzowane za pomocą parametru $t$:

$x(t)=t$,

$y(t)=t^{2}$,

gdzie $t\in (-\infty ,+\infty )$.

Okrąg

Równania parametryczne okręgu o promieniu $a$ mają postać:

$x=a\cos(t)$,

$y=a\sin(t)$,

gdzie $t\in [0,2\pi )$.

Każda krzywa opisana wzorem funkcji

Rozszerzenie przykładu paraboli. Jeśli krzywą można opisać równaniem $y=f(x)$, to równania parametryczne będą mogły przyjmować formę:

$x=t$

$y=f(t)$.

Przykłady trójwymiarowe

Helisa

Spirala

Równania parametryczne są wygodne do opisywania krzywych w przestrzeniach o większych wymiarach. Weźmy dla przykładu równania:

$x=a\cos(t)$

$y=a\sin(t)$

$z=bt,$

gdzie $a>0,$ $t\in [0,2\pi ),$

które opisują trójwymiarową krzywą, mówiąc konkretniej helisę, o promieniu $a,$ która wznosi się o $2\pi b$ co okrążenie. Takie wyrażenia jak powyżej są często zapisywane jako

$r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(a\cos(t),a\sin(t),bt).$

Powierzchnie parametryczne

Torus dla R=2 i promienia r=1/2

Torus, którego odległość od środka torusa oznaczona jest jako R i którego promień wynosi r, może być sparametryzowany równaniami zależnymi od dwóch parametrów $t,u{:}$

$x=\cos(t)\cdot [R+r\cos(u)]$

$y=\sin(t)\cdot [R+r\cos(u)]$

$z=r\cdot \sin(u),$

gdzie $t\in [0,2\pi ),$$u\in [0,2\pi ).$

Zastosowanie

Opisany wyżej sposób wyrażania krzywych jest praktyczny, dlatego iż równania te można różniczkować lub całkować względem parametru.

Np. prędkość jest pochodną wektora położenia ciała względem czasu:

$v(t)=r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(-a\sin(t),a\cos(t),b),$

natomiast przyspieszenie jest drugą pochodną wektora położenia ciała względem czasu:

$a(t)=r''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))=(-a\cos(t),-a\sin(t),0).$

Konwersja równań parametrycznych do pojedynczego równania

Konwersja zbioru równań parametrycznych do pojedynczego równania polega na wyeliminowaniu zmiennej $t$ z równań $x=x(t),\ y=y(t).$ Jeśli jedno z tych równań może być rozwiązane dla $t,$ wtedy wyrażenie otrzymane może zostać podstawione do innego równania po to, aby otrzymać równanie, w którym występować będą tylko zmienne $x$ oraz $y.$ Jeśli $x(t)$ i $y(t)$ są funkcjami wymiernymi, wtedy techniki teorii równań, takie jak rugownik, mogą zostać zastosowane do wyeliminowania zmiennej $t.$ Istnieją również szczególne przypadki, w których nie istnieje pojedyncze równanie, które by występowało w zamkniętej formie.

Dla przykładu weźmy okrąg o promieniu $a$

$x=a\cos(t)$

$y=a\sin(t)$

$a>0,$ $t\in [0,2\pi ).$

Może on być łatwo wyrażony za pomocą zmiennych $x$ oraz $y$ korzystając z jedynki trygonometrycznej:

$x/a=\cos(t)$

$y/a=\sin(t)$

$\cos(t)^{2}+\sin(t)^{2}=1$

$\therefore (x/a)^{2}+(y/a)^{2}=1,$

co ostatecznie jest łatwo identyfikowane z typem krzywej stożkowej, czyli w tym przypadku z okręgiem.

Linki zewnętrzne

• Parametric equation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].