Słaba topologia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Słaba topologia – alternatywna (w stosunku do wyjściowej) topologia na danej przestrzeni liniowo-topologicznej, będąca uogólnieniem idei zbieżności po współrzędnych (w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych słaba topologia pokrywa się z wyjściową topologią).

Słaba topologia to najmniejsza topologia na przestrzeni liniowo-topologicznej, zwykle lokalnie wypukłej, w której wszystkie funkcjonały liniowe są ciągłe (w sensie mocnej topologii) – innymi słowy dla przestrzeni liniowo-topologicznej o nietrywialną przestrzeni sprzężonej (topologicznie) jest to topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń

jeśli jest (mocną) topologią w to słabą topologię oznacza się zwykle symbolem Innym sposobem wprowadzenia tej topologii jest podanie bazy otoczeń zera.

Przykład: rozpatrzmy nieskończony ciąg elementów przestrzeni , w którym kolejne elementy mają na -tym miejscu jedynkę, a na pozostałych zera. Ciąg ten jest słabo zbieżny do . Natomiast względem normy dany ciąg jest rozbieżny (mimo bycia ograniczonym).

Z kolei mocna zbieżność zawsze pociąga słabą. Słaba topologia zwiększa rodzinę zbiorów zwartych i rodzinę zbiorów domkniętych (mówi się wtedy o słabej zwartości, czy słabej domkniętości). Para topologii mocnej i słabej wspólnie stanowi ważne narzędzie analizy funkcjonalnej.

Własności[edytuj]

Niech będzie rzeczywistą bądź zespoloną przestrzenią liniową oraz niech będzie niepustą rodziną funkcjonałów liniowych przestrzeni taką, że dla każdego niezerowego istnieje taki, że . Wówczas

  • jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą,
  • rodzina jest zawarta w przestrzeni sprzężonej , ponadto jeśli sama jest przestrzenią liniową, to .
  • podzbiór przestrzeni jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego istnieje , że dla każdego : ,
  • ciąg punktów przestrzeni jest zbieżny do punktu tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego .
  • Jeżeli przestrzeń liniowo-topologiczna jest nieskończenie wymiarowa, to każde jej słabe otoczenie zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową. Ponadto, przestrzeń ta nie jest lokalnie ograniczona.
  • Jeżeli przestrzeń liniowo-topologiczna jest lokalnie wypukła, to domknięcie zbioru wypukłego w wyjściowej topologii pokrywa się z domknięciem tego zbioru w sensie słabej topologii.
  • Twierdzenie Mazura: Niech będzie metryzowalną przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą. Jeżeli punkt jest słabą granicą ciągu punktów tej przestrzeni, to jest granicą pewnego ciągu punktów otoczki wypukłej zbioru .

Topologia *-słaba[edytuj]

Niech będzie przestrzenią liniowo-topologiczną nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Dla każdego można określić funkcjonał dany wzorem

.

Dla każdego funkcjonał jest liniowy ponadto dla każdego istnieje taki, że

.

Topologię wprowadzoną w zbiorze przez rodzinę nazywamy topologią *-słabą i oznaczamy symbolem .

Przestrzeń jest lokalnie wypukła, a rodzina

jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych.

  • Jeżeli jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to każde *-słabe otoczenie zera zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową.
  • Jeżeli jest przestrzenią unormowaną oraz oznacza topologię wyznaczoną normę w przestrzeni , to wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią refleksywną.

Bibliografia[edytuj]

  1. Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.