Skala alefów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Skala alefów – ciąg wszystkich początkowych liczb porządkowych indeksowany liczbami porządkowymi.

Definicja formalna[edytuj]

Mówi się, że liczba porządkowa jest początkową liczbą porządkową (albo liczbą kardynalną), jeśli nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych definiujemy ciąg (jest to klasa właściwa):

  • jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową,
  • jest pierwszą początkową liczbą porządkową większą od ,
  • jeśli jest liczbą graniczną, to
.

Należy zauważyć, że czasami stosuje się oznaczenie na . Zwykle ma to miejsce wtedy, gdy chcemy podkreślić że jesteśmy zainteresowani strukturą porządkową a nie tylko mocą zbioru. Tak więc zapis "" oznacza często -tą początkową liczbę porządkową z porządkiem, natomiast "" to ten sam zbiór, ale bez struktury porządkowej.

Przykłady[edytuj]

Alef-zero, pierwsza nieskończona liczba kardynalna.
  • (też nazywane lub ) jest liczebnością zbioru liczb naturalnych. jest najmniejszą nieskończoną liczbą kardynalną,
  • (też nazywane ) jest pierwszą nieprzeliczalną liczbą porządkową.
  • (zwykle nazywane ) jest najmniejszą liczbą, która jest większa niż . Innymi słowy, jest pierwszą liczbą z właśnością, że istnieje nieskończenie wiele liczb nieskończonych mniejsze od ,
  • jest pierwszą liczbą z właśnością, że istnieje nieprzeliczalnie wiele liczb kardynalnych mniejsze od ,

Własności[edytuj]

  • W ZFC, każdy nieskończony zbiór X jest równoliczny z pewnym alefem (nazywanym mocą zbioru X).
  • Istnieją liczby porządkowe takie że (są to tzw. punkty stałe skali alefów). Jeśli jest liczbą nieosiągalną, to , ale punkty stałe skali alefów można spotkać dużo wcześniej. Pierwszą taką liczbą jest granica (kres górny) ciągu
  • Hipoteza continuum mówi, że zbiór jest równoliczny z .
  • ma tę ciekawą własność, że jest pierwszą nieprzeliczalną liczbą kardynalną, która nie może być mocą zbioru liczb rzeczywistych. Sporo badań było poświęconych zagadnieniu jakie wartości może mieć . Po serii wyników niezależnościowych otrzymywanych przy założeniu dużych liczb kardynalnych przez wielu matematyków, Saharon Shelah podał następujące niespodziewane ograniczenie górne:
.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]