Skala alefów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Skala alefów – ciąg wszystkich początkowych liczb porządkowych indeksowany liczbami porządkowymi. Oznaczenie „alef” na moc zbioru nieskończonego zostało wprowadzone przez Georga Cantora.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Przy założeniu aksjomatu wyboru mówi się, że liczba porządkowa jest początkową liczbą porządkową (albo liczbą kardynalną), jeśli nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych definiujemy ciąg (jest to klasa właściwa):

  • jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową
  • jest pierwszą początkową liczbą porządkową większą od
  • jeśli jest liczbą graniczną, to

Należy zauważyć, że czasami stosuje się oznaczenie na Zwykle ma to miejsce wtedy, gdy chcemy podkreślić że jesteśmy zainteresowani strukturą porządkową, a nie tylko mocą zbioru. Tak więc zapis „” oznacza często -tą początkową liczbę porządkową z porządkiem, natomiast „” to ten sam zbiór, ale bez struktury porządkowej.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Alef zero, pierwsza nieskończona liczba kardynalna
  • (też nazywane lub ) jest licznością zbioru liczb naturalnych. jest najmniejszą nieskończoną liczbą kardynalną.
  • (też nazywane ) jest pierwszą nieprzeliczalną liczbą porządkową.
  • (zwykle nazywane ) jest najmniejszą liczbą, która jest większa niż Innymi słowy, jest pierwszą liczbą z własnością, że istnieje nieskończenie wiele liczb nieskończonych mniejszych od
  • jest pierwszą liczbą z własnością, że istnieje nieprzeliczalnie wiele liczb kardynalnych mniejsze od

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • W aksjomatyce Zermela-Fraenkla każdy nieskończony zbiór X jest równoliczny z pewnym alefem (nazywanym mocą zbioru X).
  • Istnieją liczby porządkowe takie że (są to tzw. punkty stałe skali alefów). Jeśli jest liczbą nieosiągalną, to ale punkty stałe skali alefów można spotkać dużo wcześniej. Pierwszą taką liczbą jest granica (kres górny) ciągu
  • Hipoteza continuum mówi, że zbiór jest równoliczny z
  • ma tę ciekawą własność, że jest pierwszą nieprzeliczalną liczbą kardynalną, która nie może być mocą zbioru liczb rzeczywistych. Sporo badań było poświęconych zagadnieniu, jakie wartości może mieć Po serii wyników niezależnościowych otrzymywanych przy założeniu dużych liczb kardynalnych przez wielu matematyków Saharon Shelah podał następujące niespodziewane ograniczenie górne:

Znak ℵ (alef)[edytuj | edytuj kod]

Alef jest pierwszą literą alfabetu hebrajskiego. Symbol ℵ używany w matematyce często reprezentowany jest jednak w systemach komputerowych inaczej niż litera hebrajska, między innymi z powodu innego kierunku pisma (od lewej do prawej w przypadku formuł matematycznych i od prawej do lewej w przypadku tekstu hebrajskiego).

  • W standardzie Unicode matematyczny symbol ℵ reprezentowany jest kodem U+2135 (ℵ w HTML/XML), podczas gdy litera hebrajska kodem U+05D0 (א w HTML/XML).
  • W systemie składu tekstu LaTeX symbol alef reprezentowany jest sekwencją kontrolną \aleph. Np. \aleph_0 daje w druku

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]