Skończenie generowana grupa przemienna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Skończenie generowana grupa przemiennagrupa przemienna (abelowa), której zbiór generatorów jest skończony. W szczególności, każda skończona grupa abelowa jest skończenie generowana.

Skończenie generowane grupy mają prostą strukturę i mogą być całkowicie sklasyfikowane, jak wyjaśniono niżej.

Definicja[edytuj]

Niech będzie przemienna. Grupę tę nazywa się skończenie generowaną, jeżeli istnieje skończenie wiele takich elementów , że każdy może być zapisany jako

,

gdzie całkowite. Wtedy mówi się, że zbiór jest zbiorem generującym (generatorów) lub że generują .

Przykłady[edytuj]

  • Liczby całkowite są skończenie generowaną grupą abelową,
  • liczby całkowite modulo n są skończenie generowanymi grupami przemiennymi,
  • dowolna suma prosta skończenie wielu skończenie generowanych grup przemiennych także jest skończenie generowaną grupą przemienną

Powyższa lista wyczerpuje przykłady podgrup skończenie generowanych.

  • Grupa liczb wymiernych nie jest skończenie generowana: niech będą liczbami wymiernymi, a liczbą naturalną względnie pierwszą z mianownikami liczb , wtedy przedstawienie elementu za pomocą okazuje się niemożliwe.

Klasyfikacja[edytuj]

Twierdzenie o klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych (Frobenius i Stickelberger, 1878), będące szczególnym przypadkiem twierdzenia strukturalnego dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych (twierdzenia Frobeniusa o równoważności macierzy nad pierścieniem liczb całkowitych)[1], może być wyrażone na dwa niżej wymienione sposoby (podobnie jak dla d.i.g.). Jego szczególnym przypadkiem jest twierdzenie o klasyfikacji skończonych grup przemiennych. Wynik ten ma zastosowanie praktyczne w informatyce: obliczenia w poszczególnych grupach rozkładu mogą być wykonywane równolegle (tzn. niezależnie od siebie).

Rozkład na czynniki pierwsze[edytuj]

Sformułowanie rozkładu na czynniki pierwsze mówi, że każda skończenie generowana grupa abelowa jest izomorficzna z sumą prostą cyklicznych grup o rzędach będącymi potęgami liczb pierwszych oraz nieskończonych grup cyklicznych. To jest, każda taka grupa jest izomorficzna z grupą postaci

,

gdzie , a liczby są (niekoniecznie różnymi) potęgami liczb pierwszych. W szczególności jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy . Wartości są wyznaczone jednoznacznie (co do porządku) przez .

Rozkład na czynniki niezmiennicze[edytuj]

Dowolna skończenie generowana grupa przemienna może być zapisana także jako iloczyn prosty postaci

,

gdzie dzieli , które dzieli i tak dalej, aż do . Znowu, liczby są jednoznacznie wyznaczone przez (tutaj wraz z jednoznacznym porządkiem) i są nazywane czynnikami niezmienniczymi, tzn. dwie skończenie generowane grupy abelowe są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają jednakowe ciągi czynników niezmienniczych; liczba jest równa randze grupy abelowej.

Równoważność[edytuj]

Powyższe stwierdzenia są równoważne na mocy chińskiego twierdzenia o resztach, które mówi w tym wypadku, że jest izomorficzna z iloczynem prostym przez wtedy i tylko wtedy, gdy oraz względnie pierwsze i .

Wnioski[edytuj]

Wyrażone inaczej twierdzenie o klasyfikacji mówi, że skończenie generowana grupa przemienna jest sumą prostą grupy abelowej wolnej skończonej rangi i skończonej grupy przemiennej, z których każda jest wyznaczona jednoznacznie co do izomorfizmu. Skończona grupa abelowa jest podgrupą torsyjną . Ranga jest określona jako ranga beztorsyjnej części ; tzn. jest to liczba w powyższych wzorach.

Wnioskiem płynącym z twierdzenia o klasyfikacji jest, że każda skończenie generowana beztorsyjna grupa przemienna jest wolną grupą abelową. Warunek skończonego generowania jest tu kluczowy: jest beztorsyjna, ale nie jest wolna grupą abelową.

Każda podgrupa i grupa ilorazowa skończenie generowanej grupy abelowej jest znowu skończenie generowaną grupą abelową. Skończenie generowane grupy przemienne, wraz z homomorfizmami grupowymi stanowią kategorię przemienną, będącą podkategorią Serre'a kategorii grup abelowych.

Nieskończenie generowane grupy przemienne[edytuj]

Należy mieć na uwadze, że nie każda grupa przemienna skończonej rangi jest skończenie generowana; grupa pierwszej rangi jest jednym z przykładów, kolejnym jest grupa rangi zerowej będąca sumą prostą przeliczalnie wielu egzemplarzy .

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. L. Fuchs, Infinite abelian groups, Academic Press 1970, tw. III.15.2