Skończenie generowana grupa przemienna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Skończenie generowana grupa przemiennagrupa przemienna (abelowa), której zbiór generatorów jest skończony. W szczególności, każda skończona grupa abelowa jest skończenie generowana.

Skończenie generowane grupy mają prostą strukturę i mogą być całkowicie sklasyfikowane, jak wyjaśniono niżej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przemienna. Grupę tę nazywa się skończenie generowaną, jeżeli istnieje skończenie wiele takich elementów że każdy może być zapisany jako

gdzie całkowite. Wtedy mówi się, że zbiór jest zbiorem generującym (generatorów) lub że generują

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Liczby całkowite są skończenie generowaną grupą abelową,
  • liczby całkowite modulo n są skończenie generowanymi grupami przemiennymi,
  • dowolna suma prosta skończenie wielu skończenie generowanych grup przemiennych także jest skończenie generowaną grupą przemienną

Powyższa lista wyczerpuje przykłady podgrup skończenie generowanych.

  • Grupa liczb wymiernych nie jest skończenie generowana: niech będą liczbami wymiernymi, a liczbą naturalną względnie pierwszą z mianownikami liczb wtedy przedstawienie elementu za pomocą okazuje się niemożliwe.

Klasyfikacja[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie o klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych (Frobenius i Stickelberger, 1878), będące szczególnym przypadkiem twierdzenia strukturalnego dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych (twierdzenia Frobeniusa o równoważności macierzy nad pierścieniem liczb całkowitych)[1], może być wyrażone na dwa niżej wymienione sposoby (podobnie jak dla d.i.g.). Jego szczególnym przypadkiem jest twierdzenie o klasyfikacji skończonych grup przemiennych. Wynik ten ma zastosowanie praktyczne w informatyce: obliczenia w poszczególnych grupach rozkładu mogą być wykonywane równolegle (tzn. niezależnie od siebie).

Rozkład na czynniki pierwsze[edytuj | edytuj kod]

Sformułowanie rozkładu na czynniki pierwsze mówi, że każda skończenie generowana grupa abelowa jest izomorficzna z sumą prostą cyklicznych grup o rzędach będącymi potęgami liczb pierwszych oraz nieskończonych grup cyklicznych. To jest, każda taka grupa jest izomorficzna z grupą postaci

gdzie a liczby są (niekoniecznie różnymi) potęgami liczb pierwszych. W szczególności jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy Wartości są wyznaczone jednoznacznie (co do porządku) przez

Rozkład na czynniki niezmiennicze[edytuj | edytuj kod]

Dowolna skończenie generowana grupa przemienna może być zapisana także jako iloczyn prosty postaci

gdzie dzieli które dzieli i tak dalej, aż do Znowu, liczby są jednoznacznie wyznaczone przez (tutaj wraz z jednoznacznym porządkiem) i są nazywane czynnikami niezmienniczymi, tzn. dwie skończenie generowane grupy abelowe są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają jednakowe ciągi czynników niezmienniczych; liczba jest równa randze grupy abelowej.

Równoważność[edytuj | edytuj kod]

Powyższe stwierdzenia są równoważne na mocy chińskiego twierdzenia o resztach, które mówi w tym wypadku, że jest izomorficzna z iloczynem prostym przez wtedy i tylko wtedy, gdy oraz względnie pierwsze i

Wnioski[edytuj | edytuj kod]

Wyrażone inaczej twierdzenie o klasyfikacji mówi, że skończenie generowana grupa przemienna jest sumą prostą grupy abelowej wolnej skończonej rangi i skończonej grupy przemiennej, z których każda jest wyznaczona jednoznacznie co do izomorfizmu. Skończona grupa abelowa jest podgrupą torsyjną Ranga jest określona jako ranga beztorsyjnej części tzn. jest to liczba w powyższych wzorach.

Wnioskiem płynącym z twierdzenia o klasyfikacji jest, że każda skończenie generowana beztorsyjna grupa przemienna jest wolną grupą abelową. Warunek skończonego generowania jest tu kluczowy: jest beztorsyjna, ale nie jest wolna grupą abelową.

Każda podgrupa i grupa ilorazowa skończenie generowanej grupy abelowej jest znowu skończenie generowaną grupą abelową. Skończenie generowane grupy przemienne, wraz z homomorfizmami grupowymi stanowią kategorię przemienną, będącą podkategorią Serre’a kategorii grup abelowych.

Nieskończenie generowane grupy przemienne[edytuj | edytuj kod]

Należy mieć na uwadze, że nie każda grupa przemienna skończonej rangi jest skończenie generowana; grupa pierwszej rangi jest jednym z przykładów, kolejnym jest grupa rangi zerowej będąca sumą prostą przeliczalnie wielu egzemplarzy

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. L. Fuchs, Infinite abelian groups, Academic Press 1970, tw. III.15.2.