Metoda Gaussa-Seidla

Metoda Gaussa-Seidela – iteracyjna metoda rozwiązywania układów równań liniowych nazwana nazwiskami niemieckich matematyków: Carla Friedricha Gaussa oraz Philippa Ludwiga von Seidela. Metoda opiera się na takiej modyfikacji metody Jacobiego, by w każdej iteracji korzystać z aktualnie obliczanych wartości przybliżenia rozwiązania układu. Metodę tę można stosować do układów równań liniowych, których macierz główna nie ma zer na przekątnej, ale zbieżność jest zagwarantowana tylko dla macierzy przekątniowo dominującej.

Poszukujemy rozwiązania układu równań wyrażonego macierzowo:

$Ax=b.\,$

Pojedyncza iteracja metody Gaussa-Seidela

$x^{(k+1)}=\left({D-L}\right)^{-1}\left({Ux^{(k)}+b}\right),$

gdzie $A=D-L-U$; macierze $D$, $-L$ oraz $-U$ reprezentują kolejno macierz diagonalną, oraz macierze dolnotrójkątną i górnotrójkątną macierzy A; $k$ jest numerem iteracji. Postać macierzowa jest używana do analizy metody. Do implementacji używany jest wzór

$x_{i}^{(k+1)}={\frac {1}{a_{ii}}}\left(b_{i}-\sum _{j<i}a_{ij}x_{j}^{(k+1)}-\sum _{j>i}a_{ij}x_{j}^{(k)}\right),\,i=1,2,\ldots ,n.$

Algorytm

Wybierz początkowe przybliżenie $x^{0}$

for k := 1 step 1 until oczekiwane przybliżenie do

for i := 1 step 1 until n do

$\sigma =0$

for j := 1 step 1 until i-1 do

$\sigma =\sigma +a_{ij}x_{j}^{(k)}$

end (j-for)

for j := i+1 step 1 until n do

$\sigma =\sigma +a_{ij}x_{j}^{(k-1)}$

end (j-for)

$x_{i}^{(k)}={{\left({b_{i}-\sigma }\right)} \over {a_{ii}}}$

end (i-for)

sprawdź czy osiągnięty zostało oczekiwane przybliżenie

end (k-for)

$x\approx x^{(k)}$

Bibliografia

• David Kincaid, Ward Cheney Analiza Numeryczna ISBN 83-204-3078-X

Linki zewnętrzne

• Metoda_Gaussa-Seidela