Złożenie funkcji: Różnice pomiędzy wersjami

Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Dodane 21 bajtów ,  11 lat temu
m
drobne redakcyjne
m (robot poprawia: nl:Functiecompositie)
m (drobne redakcyjne)
'''Złożenie (superpozycja) funkcji''' – [[funkcja (matematyka)|funkcja]] zwracająca wartość pewnej funkcji w punkcie zadanym za pomocą innej.
 
== Definicja ==
Niech <math>f: X \to Y</math> oraz <math>g: Y \to Z</math> będą dowolnymi funkcjami. Ich '''złożeniem''' nazywamy funkcję <math>h: X \to Z</math> taką, że:
: <math>h(x)=g\left(f(x)\right)</math>.
 
Funkcje <math>f</math> oraz <math>g</math> nazywa się ''funkcjami składanymi'', zaś <math>h</math> nosi również nazwę '''funkcji złożonej'''.
 
Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany <math>\circ</math>. Dla powyższych funkcji
: <math>h = g \circ f</math>,
zatem
: <math>h(x) = g\left(f(x)\right) \equiv (g \circ f)(x)</math>.
 
== Własności ==
Łączność operatora składania oznacza, że <math>f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h</math>, czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis <math>f \circ g \circ h</math>.
 
Z istnienia złożenia <math>g \circ f</math> nie wynika istnienie <math>f \circ g</math>. Jest to możliwe wtedy, gdy [[zbiór]] <math>X</math> jest tożsamy z <math>Z</math>. Mamy wówczas <math>f \circ g\colon Y \to Y</math>, w takim przypadku <math>f \circ g</math> na ogół różni się od funkcji <math>g \circ f</math>.
 
=== Przykład ===
 
===Przykład===
Niech <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x) = 2x+1</math> i <math>g\colon \mathbb R \to \mathbb R, g(x) = x^2</math>. Wtedy
: <math>(g \circ f)\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; (g \circ f)(x) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1</math>, natomiast
Widać, iż <math>g \circ f</math> jest inna niż <math>f \circ g</math>.
 
== Struktura grupy ==
{{main|grupa permutacji}}
Operacja składania funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących matematyków zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ona strukturę [[półgrupa|półgrupy]] lub [[grupa (matematyka)|grupy]]. Przykłady:
 
=== Przykład ===
* <math>\Sigma_X</math>, czyli [[grupa symetryczna]] danego zbioru <math>X</math>, oznaczana również przez <math>S_X</math> albo <math>\operatorname{Sym}(X)</math>, czyli grupa wszystkich bijekcji <math>f\colon X \to X</math>.
* Zbiór wszystkich odwzorowań <math>f\colon X \to X</math> jest połgrupąpółgrupa, a nawet [[monoid]]em, w którym rolę elementu neutralnego pełni [[odwzorowanie tożsamościowe]].
 
=== Składanie funkcji samej ze sobą ===
Jeżeli <math>f\colon X \to X</math>, to można wykonać złożenie <math>f</math> samą ze sobą – otrzymaną funkcję <math>f \circ f</math> oznacza się zazwyczaj <math>f^2</math>. Analogicznie, <math>f^3 = f \circ f \circ f</math>, itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się [[iteracja odwzorowania|iteracją]].
 
Dodatkowo funkcję <math>f</math>, dla której <math>(f \circ f)(x) = x</math> nazywamy [[inwolucja (matematyka)|inwolucją]].
Tradycyjnie <math>f^2</math> jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły [[iloczyn]] funkcji (lub iloczyn punktowy), czyli <math>f(x) \cdot f(x)</math>. W szczególności umowa ta dotyczy [[funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]], np. we wzorze: <math>\sin^2 x + \cos^2 x = 1</math> zapis <math>\sin^2 x</math> oznacza właśnie <math>\sin x \cdot \sin x = (\sin x)^2</math>. Choć zaleca się zapis nawiasowy, to zwykle nie prowadzi to jednak do większych nieporozumień.
 
== Zobacz też ==
* [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]],
* [[funkcja odwrotna]],
* [[reguła łańcuchowa]],.
 
[[Kategoria:Funkcje matematyczne]]

Menu nawigacyjne