Powinowactwo osiowe: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
→Definicja: drobne redakcyjne |
→Definicja: poprawiono definicję kierunku powinowactwa, drobne techniczne |
||
| Linia 6: | Linia 6: | ||
Równoważna definicja - '''powinowactwem osiowym''' ''f'' o osi ''k'' na płaszczyźnie nazywamy [[przekształcenie afiniczne]], w którym prosta ''k'' jest prostą punktów stałych tego przekształcenia. |
Równoważna definicja - '''powinowactwem osiowym''' ''f'' o osi ''k'' na płaszczyźnie nazywamy [[przekształcenie afiniczne]], w którym prosta ''k'' jest prostą punktów stałych tego przekształcenia. |
||
Wektor powinowactwa jest to uporządkowana para punktów nie leżąca na osi ''k'': dowolny punkt ''A'' i jego obraz punkt ''A'''. |
Wektor powinowactwa jest to uporządkowana para punktów nie leżąca na osi ''k'': dowolny punkt ''A'' i jego obraz punkt ''A'''. |
||
Kierunek powinowactwa |
[[Kierunek]] powinowactwa jest zbiór wszystkich prostych równoległych do wektora powinowactwa. |
||
Stosunek powinowactwa jest to liczba ''s'' spełniająca warunek: <math>\vec{A_P'A'}=s\cdot\vec{A_PA}</math>, gdzie punkty ''A<sub>P</sub>'' i ''A'<sub>P</sub>'' są rzutami prostokątnymi punktu ''A'' i jego obrazu ''A''' na oś ''k''. |
Stosunek powinowactwa jest to liczba ''s'' spełniająca warunek: <math>\vec{A_P'A'}=s\cdot\vec{A_PA}</math>, gdzie punkty ''A<sub>P</sub>'' i ''A'<sub>P</sub>'' są rzutami prostokątnymi punktu ''A'' i jego obrazu ''A''' na oś ''k''. |
||
Wersja z 22:11, 9 wrz 2009
Powinowactwo osiowe to rodzaj przekształcenia afinicznego na płaszczyźnie.
Definicja
Odwzorowanie geometryczne f na płaszczyźnie nazywamy powinowactwem osiowym o osi k, jeżeli każda prosta nierównoległa do prostej k i jej obraz mają punkt wspólny leżący na osi k.
Równoważna definicja - powinowactwem osiowym f o osi k na płaszczyźnie nazywamy przekształcenie afiniczne, w którym prosta k jest prostą punktów stałych tego przekształcenia.
Wektor powinowactwa jest to uporządkowana para punktów nie leżąca na osi k: dowolny punkt A i jego obraz punkt A'.
Kierunek powinowactwa jest zbiór wszystkich prostych równoległych do wektora powinowactwa.
Stosunek powinowactwa jest to liczba s spełniająca warunek: , gdzie punkty AP i A'P są rzutami prostokątnymi punktu A i jego obrazu A' na oś k.
Własności
- dla dowolnych punktów A i B nie będących punktami stałymi powinowactwa osiowego f proste Af(A) i Bf(B) są równoległe.
- jeśli wektor powinowactwa jest zerowy (A=A'), to powinowactwo osiowe staje się przekształceniem tożsamościowym.
- jedynymi punktami stałymi w powinowactwie osiowym różnym od tożsamościowego są punkty osi powinowactwa k.
- jedynymi prostymi stałymi powinowactwa osiowego nietożsamościowego jest oś powinowactwa k i wszystkie proste równoległe do kierunku powinowactwa.
- powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa k i wektor powinowactwa.
- powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa k, kierunek powinowactwa oraz stosunek powinowactwa s różny od 1.
Fakty
Można udowodnić, że każde przekształcenie afiniczne daje się przedstawić jako złożenie pewnego powinowactwa osiowego i pewnego podobieństwa.
Rodzaje powinowactwa osiowego:
- powinowactwo prostokątne - kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi powinowactwa
- powinowactwo ścinające (ścięcie) - kierunek powinowactwa jest równoległy do osi powinowactwa
- symetria skośna - środek wektora powinowactwa leży na na osi powinowactwa
- symetria osiowa - kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi i środek wektora leży na osi
Każde przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie jest powinowactwem osiowym lub złożeniem co najwyżej trzech powinowactw osiowych. Z tego wynika, że powinowactwa osiowe generują grupę przekształceń afinicznych.
Literatura
- Jerzy Bednarczuk: Urok przekształceń afinicznych. Warszawa: 1978.