Dysjunkcja (Sheffera)

Dysjunkcja (dyzjunkcja, dysjunkcja/dyzjunkcja Sheffera, funkcja Sheffera, NAND, w terminologii Jana Łukasiewicza niewspółzachodzenie) – zdanie lub funkcja zdaniowa utworzone za pomocą funktora dysjunkcji, jednego z dwuargumentowych funktorów zdaniotwórczych rachunku zdań. Symbolem funktora dysjunkcji jest przeważnie ukośna kreska /. W języku potocznym funktorowi dysjunkcji odpowiada swobodnie funktor „bądź..., bądź...”. Wyrażenie "p / q" odczytywać można „bądź p, bądź q”, „albo p, albo q” (w znaczeniu „zachodzi najwyżej jedno z dwojga”, por.), jako że dysjunkcja jest negacją koniunkcji „nie zarazem p i q”. Pojęcie dysjunkcji wprowadził w 1913 Henry Sheffer.

Wartość logiczna

Zdanie utworzone za pomocą spójnika dysjunkcji jest fałszywe tylko wtedy, gdy prawdziwe są oba argumenty tego spójnika; w przeciwnym wypadku jest zawsze zdaniem prawdziwym. Wartość logiczną dysjunkcji przedstawia poniższa matryca logiczna:

α	β	α / β
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	1

Wybrane własności

Funktor dysjunkcji posiada pewne własności interesujące ze względu na ekonomię zapisu: prócz binegacji jest jedynym funktorem, za pomocą którego można zdefiniować wszystkie inne; ponadto jest jedynym funktorem jedynego aksjomatu dysjunkcyjnego rachunku zdań.

Twierdzenie, że za pomocą funktora dysjunkcji zdefiniować można wszystkie pozostałe, pochodzi od logika Henry'ego Sheffera, który opublikował je w 1913 w artykule A Set of Five Independent Postulates for Boolean Algebras, with Application to Logical Constants. Wcześniej na ten pomysł wpadł Charles Peirce (artykuł A Boolean Algebra with One Constant z 1880), lecz nie został on dostrzeżony. W 1925 Eustachy Żyliński udowodnił, że nie istnieje żaden inny niż binegacja i dysjunkcja funktor rachunku zdań, za pomocą którego zdefiniowac można wszystkie pozostałe.

Inne funktory logiczne definiowane są w sposób następujący:

$\neg p\iff p/p,$

$p\wedge q\iff \neg \neg (p\wedge q)\iff \neg (p/q)\iff (p/q)/(p/q),$

$p\vee q\iff \neg \neg (p\vee q)\iff \neg ((\neg p)\wedge (\neg q))\iff \neg ((p/p)\wedge (q/q))\iff (p/p)/(q/q),$

$p\rightarrow q\iff p/(q/q)\iff p/(p/q).$

Funktor dysjunkcji stanowi jedyny termin pierwotny rachunku zdań w stylizacji zwanej dysjunkcyjnym rachunkiem zdań. Dysjunkcyjny rachunek zdań jest jedyną formą klasycznego rachunku zdań, w której występuje tylko jeden aksjomat. Aksjomatem tym jest aksjomat Nicoda-Łukasiewicza (forma aksjomatu Mereditha), sformułowany przez Jeana Nicoda (A Reduction in the number of the Primitive Propositions of Logic, 1917), uproszczony przez Jana Łukasiewicza (Uwagi o aksjomacie Nicoda i o "definicji uogólniającej", 1933).

Bramka logiczna

Realizacją operacji NAND w elektronice jest bramka logiczna NAND. Oznaczana jest symbolem:

Inne znaczenia terminu "dysjunkcja" w logice

1. Niekiedy można spotkać się z rozumieniem dysjunkcji jako kontrawalencji, czyli alternatywy wykluczającej; w tym znaczeniu słowo to bywa używane w literaturze z zakresu nauk humanistycznych.
2. Sporadycznie spotyka się użycie terminu "dysjunkcja" w znaczeniu binegacji.
3. W literaturze z zakresu informatyki spotyka się słowo "dysjunkcja" w znaczeniu zapożyczonym z języka angielskiego, gdzie jest ono synonimem alternatywy. Angielskim odpowiednikiem polskiej dysjunkcji jest natomiast termin "alternative denial".

Bibliografia

• Charles Peirce, 1880. "A Boolean Algebra with One Constant". In Hartshorne, C, and Weiss, P., eds., (1931-35) Collected Papers of Charles Sanders Peirce, Vol. 4: 12-20. Harvard University Press.
• H. M. Sheffer, 1913. "A set of five independent postulates for Boolean algebras, with application to logical constants," Transactions of the American Mathematical Society 14: 481-488.

Zobacz też

• binegacja
• aksjomat Nicoda-Łukasiewicza
• dysjunkcyjny rachunek zdań

Linki zewnętrzne

• Artykuł Nicoda A Reduction in the number of the Primitive Propositions of Logic w Wikisource