Pierścień (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana]

Usunięta treść Dodana treść

Jednokolumnowy

Wersja z 15:52, 25 sie 2010

Szablon:Definicja Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.

W literaturze spotyka się rozmaite definicje pierścieni różniące się stopniem uogólnienia. W artykule tym za najogólniejszą przyjmowana jest definicja tzw. pierścienia łącznego. Wnioskom płynącym z zawężenia definicji poprzez wymaganie elementu neutralnego mnożenia bądź warunku przemienności mnożenia również poświęcono osobne artykuły: pierścień z jedynką, pierścień przemienny.

Definicja

Niech $(R,+,\cdot ,0)$ będzie algebrą, w której $R$ jest pewnym niepustym zbiorem, symbole $+,\cdot$ oznaczają dwa działania dwuargumentowe określone w tym zbiorze, a $0$ jest pewnym wyróżnionym elementem. Algebra ta nazwana jest pierścieniem (łącznym), jeśli:

struktura $R^{+}=(R,+,0)$ jest grupą abelową, nazywaną grupą addytywną, z działaniem $+$ nazywanym dodawaniem i elementem neutralnym $0$ nazywanym zerem:
$\forall _{a,b,c\in R}\;a+(b+c)=(a+b)+c$ ,

$\forall _{a\in R}\;a+0=a$ ,

$\forall _{a\in R}\;\exists _{b\in R}\;a+b=0$ ,

$\forall _{a,b\in R}\;a+b=b+a$ ;
struktura $(R,\cdot )$ jest półgrupą z działaniem $\cdot$ nazywanym mnożeniem:
$\forall _{a,b,c\in R}\;a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ ;
oba działania powiązane są ze sobą prawami rozdzielności:
$\forall _{a,b,c\in R}\;a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ ,

$\forall _{a,b,c\in R}\;(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$ .

Element odwrotny do $a$ względem dodawania (element $b$ z trzeciego aksjomatu) nazywa się elementem przeciwnym i oznacza $-a$ .

Warianty

Na działanie mnożenia nakłada się często dodatkowe warunki regularności precyzując nazwę nowej struktury:

pierścień z jedynką – istnienie elementu neutralnego mnożenia nazywanego jedynką^[1]:
$\exists _{1\in R}\;\forall _{a\in R}\;a\cdot 1=1\cdot a=a$ ,
pierścień przemienny – przemienność mnożenia (wówczas prawa rozdzielności stają się sobie równoważne):
$\forall _{a,b\in R}\;a\cdot b=b\cdot a$ .

Uwaga: W pierścieniu z jedynką struktura $(R,\cdot ,1)$ jest monoidem (przemiennym, jeśli pierścień jest przemienny), wynika stąd, że pierścień może mieć co najwyżej jedną jedynkę.

W praktyce najczęściej rozpatruje się (niezerowe) pierścienie z jedynką; ich atutem jest, gdy są one dodatkowo przemienne.

Rodzaje

Podstawowa definicja pierścienia, bywa rozwijana w wielu różnych kierunkach:

pierścień bez dzielników zera – brak właściwych dzielników zera (zob. dalej):
$\forall _{a,b\in R\setminus \{0\}}\;a\cdot b\neq 0$
pierścień z dzieleniem – dowolny niezerowy element ma element odwrotny (zakłada się, że pierścień ma jedynkę):
$\forall _{a\in R\setminus \{0\}}\;\exists _{b\in R}\;a\cdot b=1$ ,

Element odwrotny do $a$ (względem mnożenia; $b$ w powyższym aksjomacie) oznacza się zwykle symbolami $a^{-1}$ lub ${\tfrac {1}{a}}$ .

Uwaga: W ogólności w pierścieniu mogą istnieć elementy odwracalne, tworzą one grupę nazywaną grupą elementów odwracalnych, którą oznacza się symbolem $R^{*}$ . W pierścieniu z dzieleniem struktura $(R,\cdot ,1)$ jest grupą (przemienną, jeśli pierścień jest przemienny), którą nazywa się grupą multiplikatywną i oznacza $R^{*}$ ; oznaczenie nie jest przypadkowe: pokrywa się ona wówczas z grupą elementów odwracalnych.

Pierścień z jedynką bez dzielników zera nazywa się dziedziną. Ponieważ własność dzielenia pociąga za sobą brak dzielników zera^[2], to każdy pierścień z dzieleniem jest pierścieniem bez dzielników zera, a więc dziedziną. Dziedziny przemienne określa się nazwą dziedzina całkowitości (także: pierścień całkowity; niekiedy nie wyróżnia się nieprzemiennych dziedzin całkowitości, wówczas często skraca się nazwę tej struktury do: dziedzina). Pierścień przemienny z dzieleniem (lub z powyższej obserwacji: dziedzinę całkowitości z dzieleniem) nazywa się ciałem.

Przykłady

Do najprostszych uniwersalnych przykładów należą:

pierścień trywialny, zawierający dokładnie jeden element,
pierścień zerowy, w którym mnożenie przez dowolny element daje zero.

Innymi ważnymi przykładami pierścieni są:

liczby całkowite z działaniami arytmetycznymi dodawania i mnożenia (dziedzina całkowitości),
pierścienie klas reszt (pierścienie przemienne z jedynką oraz ciała),
kwaterniony (pierścień z dzieleniem),
liczby całkowite Gaussa (dziedzina z jednoznacznością rozkładu, dziedzina Euklidesa),
liczby całkowite Eisensteina (pierścień przemienny, dziedzina Euklidesa),

Osobnym przykładem są pierścienie wielomianów $R[X]$ jednej zmiennej $X$ o współczynnikach z pierścienia $R.$ W $R[X]$ zachowywane są następujące własności pierścienia $R$ : przemienność, istnienie jedynki, brak dzielników zera, całkowitość (tzn. bycie dziedziną całkowitości), jednoznaczność rozkładu (twierdzenie Gaussa), noetherowskość (twierdzenie Hilberta o bazie). Jeżeli $R$ jest ciałem, to $R[X]$ jest pierścieniem euklidesowym.

Dobrze znane struktury liczb wymiernych, liczb rzeczywistych, czy liczb zespolonych z działaniami arytmetycznymi są przykładami pierścieni, jako że wszystkie są ciałami. Z kolei liczby naturalne (z działaniami arytmetycznymi) nie tworzą pierścienia, ponieważ wraz z działaniem dodawania nie tworzą nawet grupy; oktoniony również nie są pierścieniem, ponieważ mnożenie w nich określone nie jest łączne, lecz tylko alternatywne.

Składowe

Podpierścienie

Osobny artykuł: podpierścień.

Podzbiór $S$ pierścienia $(R,+,\cdot )$ nazywa się podpierścieniem, jeżeli jest on zamknięty na działania pierścienia $R$ , czyli sam tworzy pierścień z działaniami odziedziczonymi z $R$ :

$\forall _{a,b\in S}\;a-b\in S$ ,
$\forall _{a,b\in S}\;a\cdot b\in S$ .

Pierwszy warunek oznacza, że $(S,+)$ musi być grupą (przemienną), drugi gwarantuje, że wynik mnożenia elementów z $S$ będzie zawierał się w tym samym zbiorze (tzn. mnożenie jest tam poprawnie określonym działaniem wewnętrznym).

Ideały

Osobny artykuł: ideał (teoria pierścieni).

Podgrupę $I$ grupy addytywnej pierścienia $R$ nazywa się ideałem lewostronnym, jeżeli dla dowolnych dwóch elementów $i\in I$ oraz $r\in R$ spełniony jest warunek

r\cdot i\in I

.

Jeżeli $I$ spełnia w zamian warunek

i\cdot r\in I

,

to nazywa się ją ideałem prawostronnym. Ideał będący zarazem lewo- jak i prawostronny nazywa się krótko ideałem; pojęcia te pokrywają się w pierścieniach przemiennych. Każdy ideał jest podpierścieniem.

W dowolnym nietrywialnym pierścieniu $R$ istnieją co najmniej dwa różne ideały: cały pierścień $R$ i podpierścień trywialny $\{0\}$ , nazywa się je ideałami trywialnymi lub niewłaściwymi, wszystkie pozostałe nazywa się ideałami właściwymi.

Ze względu na inne własności wyróżnia się m.in. następujące rodzaje ideałów pierścienia $R$ :

ideał główny – generowany przez jeden element pierścienia,
ideał maksymalny – zawarty wyłącznie w ideale niewłaściwym $R$ ,
ideał pierwszy – taki, że jeśli dany element ideału jest iloczynem dwóch innych, to przynajmniej jeden z nich również należy do ideału.

Elementy wyróżnione

Element $a$ pierścienia $R$ nazywa się

dzielnikiem zera, gdy istnieje taki $b\in R$ , że $a\cdot b=0$ .
idempotentnym, gdy $a\cdot a=a$ .
nilpotentnym, gdy istnieje $n\in \mathbb {N}$ , dla którego $a^{n}=0$ .

W pierścieniu skończonym (mającym skończenie wiele elementów) każdy element jest odwracalny albo jest dzielnikiem zera.

Homomorfizmy

Zobacz też: homomorfizm pierścieni i charakterystyka (algebra).

Przekształcenie $f:R_{1}\to R_{2}$ między dwoma pierścieniami zachowujące ich działania, tzn. dla dowolnych elementów $a,b\in R_{1}$ spełnione są warunki:

$f(a+b)=f(a)+f(b)$ ,
$f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$ ,

nazywa się homomorfizmem pierścieni. Inaczej: jest to homomorfizm grup addytywnych, a przy tym homomorfizm półgrup multiplikatywnych tych pierścieni.

Przekształcenie $f:R_{1}\to R_{2}$ między dwoma pierścieniami z jedynką zachowujące ich działania i jedynkę, tzn. dla dowolnych elementów $a,b\in R_{1}$ spełnione są warunki:

$f(a+b)=f(a)+f(b)$ ,
$f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$ ,
$f(1_{R_{1}})=1_{R_{2}}$ ,

nazywa się homomorfizmem pierścieni z jedynką. Inaczej: jest to homomorfizm grup addytywnych, a przy tym homomorfizm monoidów multiplikatywnych.

Pierścień ilorazowy

Osobny artykuł: pierścień ilorazowy.

W dowolnym pierścieniu $(R,+,\cdot )$ grupa ilorazowa $R/I$ , gdzie $I\subseteq R$ jest dowolnym ideałem (dwustronnym), jest pierścieniem z dobrze określonymi działaniami dodawania i mnożenia na warstwach:

$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$ ,
$(a+I)\cdot (b+I)=(a\cdot b)+I$ .

Pierścień ten nazywa się pierścieniem ilorazowym pierścienia $R$ przez ideał $I$ i również oznacza symbolem $R/I$ .

Dodawanie jest dobrze określone z definicji grupy ilorazowej. Wystarczy więc dowieść, że iloczyn warstw nie zależy od wyboru reprezentanta mnożonych warstw. Niech dane będą dwie warstwy, każda z nich reprezentowana przez dwa różne elementy: $a+I=a'+I$ oraz $b+I=b'+I$ . Równość

(a\cdot b)+I=(a+I)\cdot (b+I)=(a'+I)\cdot (b'+I)=(a'\cdot b')+I

dowodzi, że zmiana reprezentantów nie wpływa na wynik mnożenia, gdyż otrzymuje się tę samą, choć reprezentowaną przez inny element, warstwę.

Uogólnienia i przypadki szczególne

Wyróżnia się wiele rodzajów pierścieni, na które nakłada się dodatkowe warunki:

pierścień ideałów głównych – pierścień, w którym każdy ideał jest główny (także: każdy ideał ma jeden generator),
pierścień noetherowski – pierścień, w którym każdy ciąg wstępujący (w sensie zawierania) ideałów stabilizuje się (także: każdy ideał jest skończenie generowany),
pierścień artinowski – pierścień, w którym każdy ciąg zstępujący (w sensie zawierania) ideałów stabilizuje się,
pierścień z jednoznacznością rozkładu – pierścień przemienny, w którym każdy element można rozłożyć w sposób jednoznaczny na elementy nierozkładalne,
pierścień lokalny – pierścień mający tylko jeden ideał maksymalny,
pierścień Euklidesa – pierścień umożliwiający stosowanie algorytmu Euklidesa (znajdowanie NWD),
pierścień zredukowany – pierścień bez niezerowych elementów nilpotentnych,
pierścień Boole'a – pierścień przemienny z jedynką, w którym każdy element jest idempotentny,
pierścień Dedekinda – dziedzina całkowitości, w której każdy niezerowy właściwy ideał rozkłada się na iloczyn ideałów pierwszych.

↑ Niekiedy wymaga się, aby był on różny od elementu neutralnego dodawania wykluczając przy tym przypadek pierścienia zerowego, przybliżając definicję pierścienia do określenia ciała.
↑ Z aksjomatu istnienia elementu odwrotnego wynika, że dla każdego $\scriptstyle a\neq 0$ istnieje element odwrotny $\scriptstyle a^{-1}$ . Gdyby pierścień miał dzielniki zera, to istniałyby takie $\scriptstyle a,b\neq 0$ , że $\scriptstyle ab=0$ . Lewostronne mnożenie stronami przez $\scriptstyle a^{-1}$ daje $\scriptstyle a^{-1}ab=0$ ; z istnienia elementu neutralnego mnożenia otrzymuje się sprzeczność z założeniem $\scriptstyle b=0$ .