Orbital s

Chmura elektronowa orbitalu 6s (n = 6, l = 0)

Orbital s (l = 0) w kartezjańskim układzie współrzędnych

Orbital s – taki orbital, czyli falowa funkcja własna elektronu w polu oddziaływania jądra lub rdzenia atomowego, który odpowiada pobocznej liczbie kwantowej l = 0. Energia elektronu na orbitalu s jest zależna od wartości głównej liczby kwantowej, n. Wartości funkcji falowej w różnych punktach sferycznej chmury elektronowej otaczającej ładunek centralny nie zależą od kierunku promienia sfery. Charakter ich zależności od odległości od centrum jest różny dla różnych liczb kwantowych n. Najbardziej prawdopodobne jest znalezienie elektronu w takiej odległości od jądra, która jest zbliżona do promienia odpowiedniej orbity Bohra.

Równanie Schrödingera i orbitale

Równanie Schrödingera wiąże funkcję falową (Ψ) z energią całkowitą (E). Dla tzw. stanów stacjonarnych – takich, w których energia nie zmienia się w czasie – ma ogólną postać:

${\hat {H}}\psi =E\psi$

gdzie ^{${\hat {H}}$} – operator Hamiltona.

Zależność między współrzędnymi kartezjańskimi (x,y,z) i biegunowymi (r,Θ,φ)

Rozwiązania otrzymanego równania mają sens fizyczny dla ściśle określonych wartości energii całkowitej E_n („wartości własne” operatora) i odpowiadających im „funkcji własnych” Ψ(r,θ,φ) – orbitali.

W przypadku atomu wodoru lub „jonów (atomów) wodoropodobnych” całkowita energia układu jest wyrażana jako suma:

• energii pędu elektronu wokół jądra:

$E_{k}=-{\frac {p^{2}}{2m_{e}}}$

gdzie: p – pęd; m_e – masa elektronu

• energii potencjalnej kulombowskich oddziaływań dwóch ładunków:

$V=-{\frac {Ze_{0}^{2}}{r}}$

gdzie: Ze₀ i e₀ – ładunki jądra i elektronu, r – odległość

W czasie rozwiązywania równania stwierdza się, że ma ono sens tylko dla określonego zbioru liczb naturalnych – liczb kwantowych: głównej (n), pobocznej (l) i magnetycznej (m). Jest to równoznaczne z wykazaniem, że energia elektronu, kwadrat momentu pędu i zetowa składowa momentu pędu są kwantowane. Każda z tak otrzymanych funkcji własnych Ψ_nlm(r,Θ,φ) jest orbitalem.

Orbitale przedstawia się jako iloczyny prostszych funkcji: R_nl, θ_lm i Φ_m:

$\Psi _{nlm}(r\theta \phi )=R_{nl}(r)\cdot \Theta _{ml}(\theta )\cdot \Phi _{m}(\phi )$

gdzie (dla Z = 1):

$R_{nl}(r)=-\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {(n-l-1)!}{2n\{(n+l)!\}^{3}}}}\exp \left(-{\frac {r}{na_{0}}}\right)r^{l}L_{n+l}^{2l+1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)$

$\Theta _{ml}(\theta )_{=}(-1)^{\frac {m+|m|}{2}}{\sqrt {l+{\frac {1}{2}}}}{\sqrt {\frac {(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}}P_{l}^{m}(\cos \theta )$

$\Phi _{m}(\phi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp(im\phi )$

Radialna funkcja rozkładu gęstości ładunku

Orbital 1s

Orbital 2s

Orbital 3s

Orbital 4s

Energia elektronu (wartość własna operatora) zależy od wartości n (E_n), a wartość funkcji własnej (Ψ_nlm) – od n, l i m. Kwadrat bezwzględnej wartości modułu tej funkcji określa gęstość prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w danym miejscu otoczenia jądra (zobacz: gęstość elektronowa).

Orbital s

Gdy poboczna liczba kwantowa l = 0, orbital nosi nazwę „orbitalu s”. Symbole 1s, 2s, 3s, ... oznaczają orbitale s o różnych wartościach głównej liczby kwantowej n = 1, 2, 3, ...

W przypadku orbitalu s wartości funkcji falowej Ψ_n00 w różnych punktach otoczenia jądra zależą od wartości r, a nie zależą od φ i θ („chmura elektronowa” wewnątrz sfery).

Na wykresach funkcji opisujących zależność |Ψ_n00|² od r (radialna funkcja rozkładu gęstości ładunku) występują maksima i minima. Dla różnych wartości głównej liczby kwantowej (n) uzyskuje się funkcje świadczące o największym prawdopodobieństwie występowania elektronu w odległościach zbliżonych do promieni odpowiednich orbit w modelu atomu Bohra.

Przykład orbitalu 3s

Funkcja falowa dla orbitalu 3s ma postać:

$\psi _{3,0,0}(r,\vartheta ,\varphi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{3\,a_{0}}}\right)}^{3}{\frac {1}{18}}}}\cdot e^{\textstyle -r/(3\,a_{0})}\cdot L_{2}^{1}(2\,r/(3\,a_{0}))\cdot {\frac {1}{\sqrt {4\,\pi }}}$

gdzie dolny indeks (3,0,0) zawiera informację o liczbach kwantowych ($\psi _{n,l,m}$: n = 3, l = 0, m = 0).

Energia jest równa:

$E=-1\,\mathrm {Ry} /n^{2}=-13{,}6\,\mathrm {eV} /9$

gdzie: Ry – rydberg, pozaukładowa jednostka energii (energia wiązania elektronu w atomie wodoru), eV – elektronowolt.