Złożenie funkcji: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m r2.7.2) (Robot poprawił ar:تركيب الدوال |
→Składanie funkcji samej ze sobą: +inwersja |
||
Linia 36: | Linia 36: | ||
Jeżeli <math>f\colon X \to X</math>, to można wykonać złożenie <math>f</math> samą ze sobą – otrzymaną funkcję <math>f \circ f</math> oznacza się zazwyczaj <math>f^2</math>. Analogicznie, <math>f^3 = f \circ f \circ f</math> itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się [[iteracja odwzorowania|iteracją]]. |
Jeżeli <math>f\colon X \to X</math>, to można wykonać złożenie <math>f</math> samą ze sobą – otrzymaną funkcję <math>f \circ f</math> oznacza się zazwyczaj <math>f^2</math>. Analogicznie, <math>f^3 = f \circ f \circ f</math> itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się [[iteracja odwzorowania|iteracją]]. |
||
Dodatkowo funkcję <math>f</math>, dla której <math>(f \circ f)(x) = x</math> nazywamy [[inwolucja (matematyka)|inwolucją]]. |
Dodatkowo funkcję <math>f</math>, dla której <math>(f \circ f)(x) = x</math> nazywamy [[inwolucja (matematyka)|inwolucją]]; jej przykładem w geometrii jest [[inwersja (geometria)|inwersja]]. |
||
Tradycyjnie ''f'' <sup>2</sup> jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły [[funkcja|iloczyn funkcji]] (nazywany też iloczynem punktowym), czyli <math>f^2 (x) = f(x) \cdot f(x)</math> dla każdego <math>x \in X </math>. W szczególności umowa ta dotyczy [[funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]], np. we wzorze: <math>\sin^2 x + \cos^2 x = 1</math> zapis <math>\sin^2 x</math> oznacza właśnie <math>\sin x \cdot \sin x = (\sin x)^2</math>. |
Tradycyjnie ''f'' <sup>2</sup> jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły [[funkcja|iloczyn funkcji]] (nazywany też iloczynem punktowym), czyli <math>f^2 (x) = f(x) \cdot f(x)</math> dla każdego <math>x \in X </math>. W szczególności umowa ta dotyczy [[funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]], np. we wzorze: <math>\sin^2 x + \cos^2 x = 1</math> zapis <math>\sin^2 x</math> oznacza właśnie <math>\sin x \cdot \sin x = (\sin x)^2</math>. |
Wersja z 21:19, 11 wrz 2012
Złożenie (superpozycja) funkcji – funkcja zwracająca wartość pewnej funkcji w punkcie zadanym za pomocą innej.
Definicja
Niech oraz będą dowolnymi funkcjami. Ich złożeniem nazywamy funkcję taką, że:
- .
Funkcje oraz nazywa się funkcjami składanymi, zaś nosi również nazwę funkcji złożonej.
Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany . Dla powyższych funkcji
- ,
zatem
- .
Własności
Łączność operatora składania oznacza, że , czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis .
Z istnienia złożenia nie wynika istnienie . Jest to możliwe wtedy, gdy zbiór jest tożsamy z . Mamy wówczas , w takim przypadku na ogół różni się od funkcji .
Przykład
Niech i . Wtedy
- , natomiast
- .
Widać, iż jest inna niż .
Struktura grupy
- Osobny artykuł:
Operacja składania funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących matematyków zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ona strukturę półgrupy lub grupy.
Przykład
- , czyli grupa symetryczna danego zbioru , oznaczana również przez albo , czyli grupa wszystkich bijekcji .
- Zbiór wszystkich odwzorowań jest półgrupa, a nawet monoidem, w którym rolę elementu neutralnego pełni odwzorowanie tożsamościowe.
Składanie funkcji samej ze sobą
Jeżeli , to można wykonać złożenie samą ze sobą – otrzymaną funkcję oznacza się zazwyczaj . Analogicznie, itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się iteracją.
Dodatkowo funkcję , dla której nazywamy inwolucją; jej przykładem w geometrii jest inwersja.
Tradycyjnie f 2 jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły iloczyn funkcji (nazywany też iloczynem punktowym), czyli dla każdego . W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych, np. we wzorze: zapis oznacza właśnie .