Rozmaitość liniowa

Rozmaitość liniowa – zbiór punktów przestrzeni ${\mathfrak {U}}$ oznaczany symbolem $M_{0}+\mathbb {W}$, zdefiniowany następująco:

$M_{0}+\mathbb {W} :=\{M_{0}+w:w\in \mathbb {W} \}$,

gdzie ${\mathfrak {U}}$ jest przestrzenią afiniczną rozpiętą nad przestrzenią wektorową $\mathbb {V}$, punkt $M_{0}$ należy do tej przestrzeni, a $\mathbb {W}$ jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej $\mathbb {V}$.

Punkt $M_{0}$ to punkt początkowy rozmaitości liniowej. Każdy punkt danej rozmaitości liniowej można przyjąć za jej punkt początkowy.

Przestrzeń wektorowa $\mathbb {W}$ to przestrzeń kierunkowa rozmaitości. Przestrzeń kierunkowa rozmaitości jest wyznaczona jednoznacznie.

Wymiar rozmaitości

Rozmaitość liniowa m-wymiarowa – rozmaitość liniowa, której przestrzeń kierunkowa ma wymiar m.

Szczególne rodzaje rozmaitości

Szczególne przypadki rozmaitości liniowych:

• rozmaitość liniowa nieskończenie wymiarowa: $\dim \mathbb {W} =\infty$
• prosta: $\dim \mathbb {W} =m=1$
• płaszczyzna: $\dim \mathbb {W} =m=2$
• hiperpłaszczyzna: $\dim \mathbb {V} =n\wedge \dim \mathbb {W} =m=n-1$.

Przykłady rozmaitości liniowych

Przykłady rozmaitości liniowych:

• przestrzeń afiniczna:

Przestrzeń afiniczna jest rozmaitością liniową, której przestrzenią kierunkową jest przestrzeń wektorowa nad którą rozpięta jest przestrzeń afiniczna, a punktem początkowym jest dowolny punkt tej przestrzeni afinicznej;

• rozmaitość zerowymiarowa:

Jeśli $M_{0}\in {\mathfrak {U}}$, to rozmaitość $M_{0}+\{0\}=\{M_{0}\}$. Zatem rozmaitość jest zerowymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednopunktowa

Proste równoległe

• proste równoległe:

Niech ${\mathfrak {U}}$ będzie płaszczyzną kartezjańską. Rozpatrzmy przestrzeń afiniczną ${\mathfrak {U}}$ rozpiętą nad $\mathbb {R} ^{2}$. Niech $\mathbb {W}$ będzie jednowymiarową podprzestrzenią przestrzeni liniowej $\mathbb {R} ^{2}$. Niech $M_{0}$ będzie punktem płaszczyzny ${\mathfrak {U}}$. Wtedy $M_{0}+\mathbb {W}$ to prosta równoległa do prostej $0+\mathbb {W}$, gdzie $0$ to początek układu współrzędnych (patrz: rysunek obok).

Rozmaitości liniowe, a przestrzenie afiniczne

Lemat

$M,N\in M_{0}+\mathbb {W} \Rightarrow {\overrightarrow {MN}}\in \mathbb {W}$

Dowód lematu

Jeśli $M\in M_{0}+\mathbb {W}$, to $M_{0}+\mathbb {W} =M+\mathbb {W}$. Zatem wtedy $N\in M+\mathbb {W}$, zatem istnieje taki wektor ${\mathfrak {m}}\in \mathbb {W}$, że $N=M+{\mathfrak {m}}$. Stąd wynika, że ${\overrightarrow {MN}}={\mathfrak {m}}\in \mathbb {W}$.

Twierdzenie

Rozmaitość liniowa $M_{0}+\mathbb {W}$ przestrzeni afinicznej ${\mathfrak {U}}$ rozpiętej nad przestrzenią wektorową $\mathbb {V}$ jest przestrzenią afiniczną związaną z przestrzenią liniową $\mathbb {W}$.

Dowód twierdzenia

Jeśli $M\in M_{0}+\mathbb {W}$, to $M+\mathbb {W} =M_{0}+\mathbb {W}$. Stąd:

$\forall _{{\mathfrak {v}}\in \mathbb {W} }\forall _{M\in M_{0}+\mathbb {W} }M+{\mathfrak {v}}\in M_{0}+\mathbb {W}$.

Rozważmy funkcję ${\mathfrak {f}}\colon {\mathfrak {U}}\times \mathbb {V} \to {\mathfrak {U}}$, taką że:

${\mathfrak {f}}\colon (N,x)\mapsto N+x$.

Łatwo zauważyć, że funkcja ta posiada następującą własność:

${\mathfrak {f}}\colon (M_{0}+\mathbb {W} )\times \mathbb {W} \to M_{0}+\mathbb {W}$.

Niepusty zbiór ${\mathfrak {U}}$ nazywany jest przestrzenią afiniczną związaną z przestrzenią wektorową $\mathbb {V}$, jeśli określona jest funkcja $f\colon {\mathfrak {U}}\times \mathbb {V} \to {\mathfrak {U}}$, która $\forall _{m\in {\mathfrak {U}}}\forall _{v\in \mathbb {V} }f(M,v)\in {\mathfrak {U}}$. Element ten oznaczmy $M\circledast v$. Musi on spełnić następujące warunki:

1. $\forall _{M\in {\mathfrak {U}}}\forall _{x,y\in \mathbb {V} }M\circledast (x+y)=(M\circledast x)\circledast y$
2. $\forall _{M,N\in {\mathfrak {U}}}\exists _{v\in \mathbb {V} }:M\circledast v=N$.

Aby zakończyć dowód, wystarczy sprawdzić czy funkcja ${\mathfrak {f}}$ spełnia powyższą aksjomatykę przestrzeni afinicznej. Oczywiste jest, że funkcja spełnia warunek 1. Z kolei ponieważ jeśli $N,P\in M_{0}+\mathbb {W}$, to na mocy lematu otrzymujemy, że ${\overrightarrow {NP}}\in \mathbb {W} \wedge N+{\overrightarrow {NP}}=P$. Stąd wynika, że funkcja spełnia warunek 2, co kończy dowód.

Równoległość rozmaitości

Dwie rozmaitości liniowe danej przestrzeni afinicznej nazywa się równoległymi, jeśli mają tę samą przestrzeń kierunkową.

Nie jest to jedyna istniejąca definicja równoległości rozmaitości liniowych. Nie istnieje ogólnie przyjęta przez wszystkich matematyków jednoznaczna definicja równoległości rozmaitości. Istnieją różne, nierównoważne ze sobą definicje, dlatego czytając tekst matematyczny związany z równoległością rozmaitości, konieczne jest zrozumienie co autor rozumie poprzez słowo równoległość. Zaprezentowane wyżej pojęcie równoległości rozmaitości liniowych nie pokrywa się z pojęciem równoległości w geometrii elementarnej. Dlatego np. przez taką definicję prosta nie może być równoległa do płaszczyzny. W niektórych książkach pojęcie równoległości definiowane jest w ogólniejszy sposób. Przykładowo w książce Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową (Jefimow, Rozendorn), rozmaitość liniowa $M_{0}+\mathbb {W}$ jest równoległa do rozmaitości liniowej $N_{0}+\mathbb {T}$, gdy $\mathbb {W}$ jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej $\mathbb {T}$. Jednak w ten sposób zdefiniowana równoległość ma tę wadę, że nie jest symetryczna. W ten sposób rozmaitość A może być równoległa do B i równocześnie B nie być równoległa do A. Są też książki (np. Geometria analityczna wielowymiarowa, Karol Borsuk), które w ten sposób opisaną niesymetryczną relację równoległości nazywają równoległością, a przyjętą przez nas definicję nazywają ścisłą równoległością. Niektórzy matematycy definiują równoległość w ten sam sposób co nasza definicja, lecz dodatkowo żądają, by rozmaitości równoległe nie posiadały punktów wspólnych.

Przyjmując definicję równoległości rozmaitości liniowych podaną na początku można wykazać, że każde dwie rozmaitości równoległe są równe lub rozłączne.