Rozmaitość liniowa: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
→Równoległość rozmaitości: Sekcja przypomina esej nt. literatury matem. z poradami, jak czytać i jak rozumieć teksty. I to użalanie się nad prostą, że nie może być do czegoś równoległa, nad matematykami, że nie uzgodnili definicji. |
WP:SK, usunięcie zdublowanych kat. |
||
Linia 3: | Linia 3: | ||
: <math>M_0+\mathbb{W}:=\{ M_0 + w : w\in\mathbb{W} \}</math>, |
: <math>M_0+\mathbb{W}:=\{ M_0 + w : w\in\mathbb{W} \}</math>, |
||
dla pewnego punktu <math>M_0\in \mathfrak{U}</math> i pewnej [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzeni przestrzeni wektorowej]] <math>\mathbb{W}< \mathbb{V}</math> |
dla pewnego punktu <math>M_0\in \mathfrak{U}</math> i pewnej [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzeni przestrzeni wektorowej]] <math>\mathbb{W}< \mathbb{V}</math><ref name=definicja>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.227, Definicja 12.8'''</ref>. |
||
Punkt <math>M_0</math> nazywany jest ''punktem początkowym rozmaitości liniowej'', a podprzestrzeń wektorowa <math>\mathbb{W}</math> nazywana jest ''przestrzenią kierunkową rozmaitości''<ref name=definicja/>. |
Punkt <math>M_0</math> nazywany jest ''punktem początkowym rozmaitości liniowej'', a podprzestrzeń wektorowa <math>\mathbb{W}</math> nazywana jest ''przestrzenią kierunkową rozmaitości''<ref name=definicja/>. |
||
Własności: |
Własności: |
||
*Każdy punkt danej rozmaitości liniowej można przyjąć za jej punkt początkowy<ref name=start>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.227, Twierdzenie 12.7'''</ref>. |
* Każdy punkt danej rozmaitości liniowej można przyjąć za jej punkt początkowy<ref name=start>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.227, Twierdzenie 12.7'''</ref>. |
||
*Przestrzeń kierunkowa danej rozmaitości jest wyznaczona jednoznacznie<ref name=start/>. |
* Przestrzeń kierunkowa danej rozmaitości jest wyznaczona jednoznacznie<ref name=start/>. |
||
== Wymiar rozmaitości == |
== Wymiar rozmaitości == |
||
'''Wymiarem rozmaitości''' nazywa się wymiar jej przestrzeni kierunkowej. |
'''Wymiarem rozmaitości''' nazywa się wymiar jej przestrzeni kierunkowej. |
||
Jeśli więc przestrzeń kierunkowa rozmaitości ma [[wymiar (matematyka)#Wymiar przestrzeni liniowej|wymiar]] ''m'', to o rozmaitości mówi się '''Rozmaitość liniowa ''m''-wymiarowa''' |
Jeśli więc przestrzeń kierunkowa rozmaitości ma [[wymiar (matematyka)#Wymiar przestrzeni liniowej|wymiar]] ''m'', to o rozmaitości mówi się '''Rozmaitość liniowa ''m''-wymiarowa'''<ref name=wymiary>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.227'''</ref>. |
||
Rozmaitość z przestrzenią kierunkową <math>\mathbb{W}</math>, dla której |
Rozmaitość z przestrzenią kierunkową <math>\mathbb{W}</math>, dla której |
||
* <math>\dim\mathbb{W}=1</math> nazywa się ''[[prosta|prostą]]'' |
* <math>\dim\mathbb{W}=1</math> nazywa się ''[[prosta|prostą]]'' |
||
* <math>\dim\mathbb{W}=2</math> nazywa się ''[[płaszczyzna|płaszczyzną]]'': |
* <math>\dim\mathbb{W}=2</math> nazywa się ''[[płaszczyzna|płaszczyzną]]'': |
||
* <math> \dim\mathbb{W}=\dim\mathbb{V}-1</math> nazywa się ''[[hiperpłaszczyzna|hiperpłaszczyzną]]'': |
* <math> \dim\mathbb{W}=\dim\mathbb{V}-1</math> nazywa się ''[[hiperpłaszczyzna|hiperpłaszczyzną]]'':<ref name=wymiary/>. |
||
== Przykłady rozmaitości liniowych == |
== Przykłady rozmaitości liniowych == |
||
Linia 52: | Linia 51: | ||
Rzeczywiście, korzystając z tego, że <math> M\in \mathfrak{U},\ \ x,y\in \mathbb{V}</math> dostaniemy |
Rzeczywiście, korzystając z tego, że <math> M\in \mathfrak{U},\ \ x,y\in \mathbb{V}</math> dostaniemy |
||
: <math>\mathfrak{f}(M,x+y)=M+(x+y)=(M+x)+y=\mathfrak{f}( \mathfrak{f}( M,x) ,y)</math> |
: <math>\mathfrak{f}(M,x+y)=M+(x+y)=(M+x)+y=\mathfrak{f}( \mathfrak{f}( M,x) ,y)</math> |
||
co oznacza, że <math>\mathfrak{f}</math> spełnia I aksjomat [[przestrzeń afiniczna#definicja|przestrzeni afinicznej]] |
co oznacza, że <math>\mathfrak{f}</math> spełnia I aksjomat [[przestrzeń afiniczna#definicja|przestrzeni afinicznej]]<ref name=proof/>.. |
||
Z kolei jeśli <math>N,P\in M_0+\mathbb{W}</math>, to na mocy lematu<ref name=lemat/> otrzymujemy <math>\overrightarrow{NP}\in\mathbb{W}</math>. A stąd |
Z kolei jeśli <math>N,P\in M_0+\mathbb{W}</math>, to na mocy lematu<ref name=lemat/> otrzymujemy <math>\overrightarrow{NP}\in\mathbb{W}</math>. A stąd |
||
:<math> \mathfrak{f}(N,\overrightarrow{NP})= N+\overrightarrow{NP}=P</math>. |
: <math> \mathfrak{f}(N,\overrightarrow{NP})= N+\overrightarrow{NP}=P</math>. |
||
Czyli funkcja <math>\mathfrak{f}</math> spełnia III aksjomat [[przestrzeń afiniczna#definicja|przestrzeni afinicznej]]<ref name=proof/>. |
Czyli funkcja <math>\mathfrak{f}</math> spełnia III aksjomat [[przestrzeń afiniczna#definicja|przestrzeni afinicznej]]<ref name=proof/>. |
||
== Równoległość rozmaitości == |
== Równoległość rozmaitości == |
||
Linia 68: | Linia 66: | ||
W niektórych źródłach<ref>Np. R.I. Tyszkiewicz, A.S.Fiedienko, ''Liniejnaja ałgiebra i analiticzieskaja gieometrija'', Minsk 1976</ref> dodatkowo żąda się, by rozmaitości równoległe nie posiadały punktów wspólnych. Tak rozumiana równoległość nie będzie jednak równoważnością, a każde dwie rozmaitości równoległe będą rozłączne. |
W niektórych źródłach<ref>Np. R.I. Tyszkiewicz, A.S.Fiedienko, ''Liniejnaja ałgiebra i analiticzieskaja gieometrija'', Minsk 1976</ref> dodatkowo żąda się, by rozmaitości równoległe nie posiadały punktów wspólnych. Tak rozumiana równoległość nie będzie jednak równoważnością, a każde dwie rozmaitości równoległe będą rozłączne. |
||
=== Uwaga=== |
=== Uwaga === |
||
Niektórzy autorzy przyjmują ogólniejszą definicję<ref>Np. ''Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową'' (Jefimow, Rozendorn)</ref>: |
Niektórzy autorzy przyjmują ogólniejszą definicję<ref>Np. ''Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową'' (Jefimow, Rozendorn)</ref>: |
||
Linia 75: | Linia 73: | ||
Ta ogólniejsza definicja obejmuje np. przypadek równoległości prostej do płaszczyzny<ref name=kom>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.228, Twierdzenie 12.10 (1)'''</ref>. |
Ta ogólniejsza definicja obejmuje np. przypadek równoległości prostej do płaszczyzny<ref name=kom>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.228, Twierdzenie 12.10 (1)'''</ref>. |
||
Tak zdefiniowana równoległość nie jest relacją symetryczną, jest jedynie zwrotna i przechodnia |
Tak zdefiniowana równoległość nie jest relacją symetryczną, jest jedynie zwrotna i przechodnia<ref>[[:en:Nikolai Efimov|N. Jefimow]], E. Rozendorn, ''Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową'', wyd. II, Warszawa, 1976</ref>. |
||
⚫ | |||
{{Przypisy}} |
|||
[[Kategoria:Geometria afiniczna]] |
|||
[[Kategoria:Algebra liniowa]] |
|||
⚫ | |||
{{Przypisy}} |
{{Przypisy}} |
Wersja z 14:24, 12 wrz 2015
Rozmaitość liniowa – zbiór punktów przestrzeni afinicznej rozpiętej nad przestrzenią wektorową zdefiniowany następująco
- ,
dla pewnego punktu i pewnej podprzestrzeni przestrzeni wektorowej [1].
Punkt nazywany jest punktem początkowym rozmaitości liniowej, a podprzestrzeń wektorowa nazywana jest przestrzenią kierunkową rozmaitości[1].
Własności:
- Każdy punkt danej rozmaitości liniowej można przyjąć za jej punkt początkowy[2].
- Przestrzeń kierunkowa danej rozmaitości jest wyznaczona jednoznacznie[2].
Wymiar rozmaitości
Wymiarem rozmaitości nazywa się wymiar jej przestrzeni kierunkowej.
Jeśli więc przestrzeń kierunkowa rozmaitości ma wymiar m, to o rozmaitości mówi się Rozmaitość liniowa m-wymiarowa[3].
Rozmaitość z przestrzenią kierunkową , dla której
- nazywa się prostą
- nazywa się płaszczyzną:
- nazywa się hiperpłaszczyzną:[3].
Przykłady rozmaitości liniowych
Przykłady rozmaitości liniowych:
- Przestrzeń afiniczna jest rozmaitością liniową, której przestrzeń kierunkową stanowi przestrzeń wektorowa, nad którą rozpięta jest przestrzeń afiniczna, a punktem początkowym – dowolny punkt tej przestrzeni afinicznej[4];
- rozmaitość zerowymiarowa:
- Jeśli , to rozmaitość . Zatem rozmaitość jest zerowymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednopunktowa[5]
- proste równoległe:
- Niech będzie płaszczyzną kartezjańską. Rozpatrzmy przestrzeń afiniczną rozpiętą nad . Niech będzie jednowymiarową podprzestrzenią przestrzeni liniowej . Niech będzie punktem płaszczyzny . Wtedy to prosta równoległa do prostej , gdzie to początek układu współrzędnych[6] (patrz: rysunek obok).
Rozmaitości liniowe a przestrzenie afiniczne
Lemat
Dowód lematu
Jeśli , to . Zatem i istnieje taki wektor , dla którego . Stąd wynika, że [8].
Twierdzenie
Rozmaitość liniowa przestrzeni afinicznej rozpiętej nad przestrzenią wektorową jest przestrzenią afiniczną związaną z przestrzenią liniową [9].
Dowód twierdzenia
Jeśli , to . Stąd:
- .
Rozważmy funkcję taką, że:
- .
Łatwo zauważyć, że funkcja ta posiada następującą własność:
- [10].
Aby zakończyć dowód, wystarczy sprawdzić, czy funkcja spełnia aksjomatykę przestrzeni afinicznej.
Rzeczywiście, korzystając z tego, że dostaniemy
co oznacza, że spełnia I aksjomat przestrzeni afinicznej[10]..
Z kolei jeśli , to na mocy lematu[7] otrzymujemy . A stąd
- .
Czyli funkcja spełnia III aksjomat przestrzeni afinicznej[10].
Równoległość rozmaitości
Dwie rozmaitości liniowe danej przestrzeni afinicznej nazywa się równoległymi, jeśli mają tę samą przestrzeń kierunkową[11].
Relacja równoległości jest relacją równoważności.
Każde dwie rozmaitości równoległe są równe lub rozłączne[12].
W niektórych źródłach[13] dodatkowo żąda się, by rozmaitości równoległe nie posiadały punktów wspólnych. Tak rozumiana równoległość nie będzie jednak równoważnością, a każde dwie rozmaitości równoległe będą rozłączne.
Uwaga
Niektórzy autorzy przyjmują ogólniejszą definicję[14]:
Rozmaitość liniowa jest równoległa do rozmaitości liniowej , gdy jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej tzn., gdy .
Ta ogólniejsza definicja obejmuje np. przypadek równoległości prostej do płaszczyzny[15].
Tak zdefiniowana równoległość nie jest relacją symetryczną, jest jedynie zwrotna i przechodnia[16].
W niektórych żródłach[17] tę ogólniejszą niesymetryczną równoległość określa się równoległością, a zdefiniowaną wyżej ścisłą równoległością.
- ↑ a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.227, Definicja 12.8
- ↑ a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.227, Twierdzenie 12.7
- ↑ a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.227
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.227, Przykład 1)
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.227, Przykład 2)
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.228, Przykład 3)
- ↑ a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.228, Twierdzenie 12.8
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.228, Twierdzenie 12.8 - Dowód
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.228, Twierdzenie 12.9
- ↑ a b c Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.228, Twierdzenie 12.9 - Dowód
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.228, Definicja 12.9
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.228, Twierdzenie 12.10
- ↑ Np. R.I. Tyszkiewicz, A.S.Fiedienko, Liniejnaja ałgiebra i analiticzieskaja gieometrija, Minsk 1976
- ↑ Np. Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową (Jefimow, Rozendorn)
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.228, Twierdzenie 12.10 (1)
- ↑ N. Jefimow, E. Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową, wyd. II, Warszawa, 1976
- ↑ K. Borsuk, Geometria analityczna wielowymiarowa, wyd. V, Warszawa 1976