Ułamek: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
drobne |
→Ciało ułamków: drobne redakcyjne, poprawa linków, drobne techniczne |
||
Linia 33: | Linia 33: | ||
== Ciało ułamków == |
== Ciało ułamków == |
||
{{ |
{{osobny artykuł|ciało ułamków}} |
||
Dla każdego [[Dziedzina całkowitości|pierścienia całkowitego]] <math>P\;</math> (zatem i struktur takich jak pierścień [[liczby całkowite|liczb całkowitych]] czy pierścień wielomianów o współczynnikach całkowitych) można zdefiniować [[ciało (matematyka)|ciało]] nazywane '''ciałem ułamków'''. |
Dla każdego [[Dziedzina całkowitości|pierścienia całkowitego]] <math>P\;</math> (zatem i struktur takich jak pierścień [[liczby całkowite|liczb całkowitych]] czy pierścień wielomianów o współczynnikach całkowitych) można zdefiniować [[ciało (matematyka)|ciało]] nazywane '''[[ciało ułamków|ciałem ułamków]]'''. |
||
: <math>[a, b] \sim [c, d] \iff ad = bc</math>. |
|||
W zbiorze tym wprowadza się również [[działanie dwuargumentowe|działania]] dodawania i mnożenia: |
|||
: <math>[a, b] + [c,d] = [ad + bc, bd]\;</math>, |
|||
: <math>[a,b] \cdot [c,d] = [ac, bd]</math>. |
|||
Jak wspomniano [[#Liczby wymierne|wcześniej]], ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych jest [[izomorfizm|izomorficzne]] z ciałem liczb wymiernych. |
|||
=== Istotność założenia całkowitości pierścienia === |
=== Istotność założenia całkowitości pierścienia === |
Wersja z 10:06, 22 sie 2016
Ułamek – wyrażenie postaci , gdzie , nazywane licznikiem, oraz , nazywane mianownikiem, są dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi. Linię oddzielającą licznik od mianownika nazywa się kreską ułamkową.
Wartością ułamka jest wartość jego licznika podzielona przez wartość mianownika, dlatego ułamek jest ilorazem. Z tego też powodu o mianowniku ułamka zakłada się, że jest różny od zera, bowiem iloraz jest nieokreślony.
Istnieją także ułamki niewłaściwe, w których licznik jest większy lub równy mianownikowi, np. lub .
Liczby wymierne
Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są liczby całkowite, wówczas wartością ułamka jest liczba wymierna.
Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się właściwym, gdy jego wartość bezwzględna jest mniejsza od jedności, a niewłaściwym, gdy jest ona od niej większa lub równa. Ułamek o dodatnich liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci liczby mieszanej, tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez znaku dodawania, np. staje się
Działania na ułamkach
Dla każdego ułamek jest równy . Operację zamiany na nazywamy rozszerzeniem ułamka, odwrotną zaś nazywa się skróceniem ułamka.
Mnożenie i dzielenie wykonuje się wg wzorów:
- , na przykład:
- .
Przedstawienie liczby w postaci ułamka prowadzi do wzorów:
- ,
- .
Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać z następujących wzorów:
- .
Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio sprowadzić je do wspólnego mianownika, co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się. Prawdziwe są wzory:
- .
Liczba może zawsze pełnić rolę wspólnego mianownika, jednak często warto jest poszukać mniejszych wartości, najmniejszą możliwą jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb i .
Wyrażenia wymierne
Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka są wielomianami, to nazywa się go wyrażeniem wymiernym; reprezentuje ono wówczas w naturalny sposób funkcję wymierną. Jeżeli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to można wykonać dzielenie wielomianowe i otrzymać, podobnie jak w przypadku dzielenia liczb, wynik jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej.
Ciało ułamków
- Osobny artykuł:
Dla każdego pierścienia całkowitego (zatem i struktur takich jak pierścień liczb całkowitych czy pierścień wielomianów o współczynnikach całkowitych) można zdefiniować ciało nazywane ciałem ułamków.
Istotność założenia całkowitości pierścienia
Jeżeli pierścień przemienny ma dzielniki zera, to nie można skonstruować na nim ciała ułamków: jeśli dla niezerowych , to
- ,
czyli
- ,
stąd zaś dla dowolnego
- ,
więc jest tylko jedna klasa abstrakcji – klasa , a z definicji ciało ma przynajmniej dwa różne elementy.
Dla pierścieni nieprzemiennych tworzenie ułamków bardzo się komplikuje.
Typografia
Szablon:Oznaczenia matematyczne Licznik i mianownik zwykle oddziela się linią; jeżeli jest ona pochyła, to nazywa się ją ukośnikiem, np. Szablon:Uł; jeśli linia ta jest pozioma, to nazywa się ją kreską ułamkową, np. .
W Unicode niektóre ułamki kodowane są za pomocą jednego znaku. Są to:
Nazwa | Znak | Unicode | Kod HTML |
---|---|---|---|
Jedna czwarta | ¼ | U+00BC | ¼ lub ¼
|
Jedna druga | ½ | U+00BD | ½ lub ½
|
Trzy czwarte | ¾ | U+00BE | ¾ lub ¾
|
Jedna siódma | ⅐ | U+2150 | ⅐ lub ⅐
|
Jedna dziewiąta | ⅑ | U+2151 | ⅑ lub ⅑
|
Jedna dziesiąta | ⅒ | U+2152 | ⅒ lub ⅒
|
Jedna trzecia | ⅓ | U+2153 | ⅓ lub ⅓
|
Dwie trzecie | ⅔ | U+2154 | ⅔ lub ⅔
|
Jedna piąta | ⅕ | U+2155 | ⅕ lub ⅕
|
Dwie piąte | ⅖ | U+2156 | ⅖ lub ⅖
|
Trzy piąte | ⅗ | U+2157 | ⅗ lub ⅗
|
Cztery piąte | ⅘ | U+2158 | ⅘ lub ⅘
|
Jedna szósta | ⅙ | U+2159 | ⅙ lub ⅙
|
Pięć szóstych | ⅚ | U+215A | ⅚ lub ⅚
|
Jedna ósma | ⅛ | U+215B | ⅛ lub ⅛
|
Trzy ósme | ⅜ | U+215C | ⅜ lub ⅜
|
Pięć ósmych | ⅝ | U+215D | ⅝ lub ⅝
|
Siedem ósmych | ⅞ | U+215E | ⅞ lub ⅞
|
Jedna ... | ⅟ | U+215F | ⅟ lub ⅟
|