Aksjomaty Zermela-Fraenkla: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m drobne redakcyjne, drobne merytoryczne |
m drobne merytoryczne |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
{{spis treści}} |
{{spis treści}} |
||
'''Aksjomaty Zermela'''<ref group = uwaga>także: Zermel'''i''' (w literaturze dominuje niezgodna z polskimi zasadami odmiany nazwisk forma Zermel'''o''')</ref>'''-Fraenkla'''<ref group = uwaga>także: Fraenk'''e'''la</ref>, w skrócie: '''aksjomaty ZF''' – powszechnie przyjmowany układ aksjomatów [[teoria mnogości|teorii mnogości]] zaproponowany przez [[Ernst Zermelo|Ernsta Zermela]] w 1904 roku i później uzupełniony przez [[Abraham Fraenkel|Abrahama Fraenkla]]. |
'''Aksjomaty Zermela'''<ref group = uwaga>także: Zermel'''i''' (w literaturze dominuje niezgodna z polskimi zasadami odmiany nazwisk forma Zermel'''o''')</ref>'''-Fraenkla'''<ref group = uwaga>także: Fraenk'''e'''la</ref>, '''aksjomatyka Zermela-Fraenkla''', w skrócie: '''aksjomaty'''('''ka''') '''ZF''' – powszechnie przyjmowany układ aksjomatów [[teoria mnogości|teorii mnogości]] zaproponowany przez [[Ernst Zermelo|Ernsta Zermela]] w 1904 roku i później uzupełniony przez [[Abraham Fraenkel|Abrahama Fraenkla]]. |
||
Dodając do ZF [[aksjomat wyboru]], lub zdanie mu równoważne, otrzymuje się '''teorię ZFC'''. |
Dodając do ZF [[aksjomat wyboru]], lub zdanie mu równoważne, otrzymuje się '''teorię ZFC'''. |
Wersja z 01:10, 24 lut 2017
Aksjomaty Zermela[a]-Fraenkla[b], aksjomatyka Zermela-Fraenkla, w skrócie: aksjomaty(ka) ZF – powszechnie przyjmowany układ aksjomatów teorii mnogości zaproponowany przez Ernsta Zermela w 1904 roku i później uzupełniony przez Abrahama Fraenkla.
Dodając do ZF aksjomat wyboru, lub zdanie mu równoważne, otrzymuje się teorię ZFC.
Historia
w 1908 roku Ernst Zermelo zaproponował pierwszy zestaw aksjomatów teorii mnogości: teorię mnogości Zermela. Ta aksjomatyczna teoria nie umożliwiała konstrukcji liczb porządkowych. Choć większość „zwykłej matematyki” można wyprowadzić bez ich używania, jednak liczby porządkowe są nieodzowne w większości badań teoriomnogościowych. Ponadto, jeden z aksjomatów Zermela odwoływał się do bliżej niewyjaśnionego pojęcia „określonej” właściwości. W 1922 roku Abraham Fraenkel i Thoralf Skolem zaproponowali, niezależnie, uściślenie pojęcia „określoności” właściwości jako takich, które mogą zostać sformułowane w rachunku predykatów z równością, w którym jedynym symbolem spoza logiki jest binarny predykat „należenia do”, oznaczany symbolem ∈. Również niezależnie od siebie, zaproponowali oni zastąpienie aksjomatu podzbiorów przez aksjomat zastępowania. Stosując wspomniany schemat oraz dodając do teorii mnogości Zermela aksjomat regularności, zaproponowany przez Zermela w 1930 roku, otrzymuje się teorię ZF. Dodając do ZF aksjomat wyboru, lub zdanie mu równoważne, otrzymuje się teorię ZFC.
Aksjomaty Zermela-Fraenkla
Aksjomat ekstensjonalności
- Główny artykuł:
- Jeżeli zbiory i mają te same elementy, to są identyczne:
Aksjomat zbioru pustego
- Główny artykuł:
- Istnieje zbiór, który nie ma żadnego elementu:
- Na mocy aksjomatu ekstensjonalności istnieje tylko jeden zbiór posiadający taką właściwość: zbiór pusty, oznaczany symbolem
Aksjomat podzbiorów
- Główny artykuł:
- Inne nazwy: aksjomat wyróżniania, aksjomat wycinania.
- Dla każdego zbioru istnieje zbiór , złożony z tych i tylko tych elementów zbioru , które mają własność :
- Aksjomat podzbiorów daje się wyprowadzić z aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu zastępowania.
Aksjomat pary
- Główny artykuł:
- Dla dowolnych zbiorów i istnieje zbiór , którego elementami są dokładnie zbiory oraz :
Aksjomat sumy
- Główny artykuł:
- Dla dowolnej rodziny zbiorów istnieje zbiór , do którego należą dokładnie te elementy , które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny :
Aksjomat zbioru potęgowego
- Główny artykuł:
- Dla każdego zbioru istnieje zbiór , którego elementami są dokładnie podzbiory zbioru :
Aksjomat nieskończoności
- Główny artykuł:
- Istnieje zbiór induktywny:
-
- Istnieje wiele takich zbiorów.
- Część wspólna wszystkich takich zbiorów jest najmniejszym zbiorem o tych właściwościach i określa zbiór liczb naturalnych.
Aksjomat zastępowania
- Główny artykuł:
- Aksjomat podzbiorów jest jego słabszą wersją.
- Jeżeli dla każdego istnieje dokładnie jeden , dla którego zachodzi , to dla dowolnego zbioru istnieje taki zbiór , że:
-
-
- przy czym:
Aksjomat regularności
- Główny artykuł:
- Inna nazwa: aksjomat ufundowania.
- Każdy niepusty zbiór ma element rozłączny z :
- Jest on niezależny od pozostałych aksjomatów. Rozważane są teorie, w których jako aksjomat przyjmuje się jego negację. Występujące w takich teoriach nieufundowane zbiory noszą nazwę hiperzbiorów.
Aksjomat wyboru
- Główny artykuł:
- Aksjomat wyboru nie należy do aksjomatyki ZF, ale dodanie go tworzy najpowszechniejsze jej rozszerzenie: ZFC.
- Dla dowolnej rodziny zbiorów niepustych parami rozłącznych istnieje selektor (zbiór, do którego należy dokładnie jeden element z każdego zbioru należącego do rodziny).
-
- przy czym:
- Za pomocą pozostałych aksjomatów można udowodnić równoważność tego aksjomatu z lematem Kuratowskiego-Zorna oraz twierdzeniem, że w każdym zbiorze istnieje relacja dobrego porządku, a także z aksjomatem multiplikacji głoszącym, że dla dowolnej indeksowanej rodziny niepustych zbiorów istnieje funkcja wyboru
- taka, że:
- dla wszystkich .
- taka, że:
Zobacz też
Bibliografia
- Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7.
- Agnieszka Wojciechowska: Elementy logiki i teorii mnogości. Warszawa: PWN, 1979. ISBN 83-01-00756-7.