Aksjomaty Zermela-Fraenkla: Różnice pomiędzy wersjami

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
m Tarnoob przeniósł stronę Aksjomaty Zermela–Fraenkla na Aksjomaty Zermela-Fraenkla w miejsce przekierowania: Beno i Wostr sprzeciwiają się poradzie Wolańskiego, którą popieram (półpauza w takich terminach).
Szoltys-bot (dyskusja | edycje)
m →‎Linki zewnętrzne: bot poprawia linkowanie do SEP (WP:ZDBOT)
Linia 88: Linia 88:


== Linki zewnętrzne ==
== Linki zewnętrzne ==
* [https://plato.stanford.edu/entries/zermelo-set-theory/ Artykuł na Stanford Encyclopedia of Philosophy]
* [https://plato.stanford.edu/entries/zermelo-set-theory/ Artykuł] na [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]
* [https://plato.stanford.edu/entries/set-theory-constructive/ Konstruktywne i intuicjonistyczne ZF, Stanford Encyclopedia of Philosophy]
* [https://plato.stanford.edu/entries/set-theory-constructive/ Konstruktywne i intuicjonistyczne ZF, Stanford Encyclopedia of Philosophy]



Wersja z 19:45, 19 lip 2017

Aksjomaty Zermela[a]-Fraenkla[b], aksjomatyka Zermela-Fraenkla – powszechnie przyjmowany układ aksjomatów teorii mnogości zaproponowany przez Ernsta Zermela w 1904 roku i później uzupełniony przez Abrahama Fraenkla.

Dla aksjomatyki Zermela-Fraenkla stosuje się często wygodną symbolikę ZF. Ze względu na specyfikę jednego z jej aksjomatów zwanego aksjomatem wyboru, stosuje się także obok ZF oznaczenie ZFC dla zaznaczenia, że dowód jakiegoś twierdzenie wymaga lub nie wymaga zastosowania aksjomatu wyboru.

Historia

w 1908 roku Ernst Zermelo zaproponował pierwszy zestaw aksjomatów teorii mnogości: teorię mnogości Zermela. Ta aksjomatyczna teoria nie umożliwiała konstrukcji liczb porządkowych. Choć większość „zwykłej matematyki” można wyprowadzić bez ich używania, jednak liczby porządkowe są nieodzowne w większości badań teoriomnogościowych. Ponadto, jeden z aksjomatów Zermela odwoływał się do bliżej niewyjaśnionego pojęcia „określonej” właściwości. W 1922 roku Abraham Fraenkel i Thoralf Skolem zaproponowali, niezależnie, uściślenie pojęcia „określoności” właściwości jako takich, które mogą zostać sformułowane w rachunku predykatów z równością, w którym jedynym symbolem spoza logiki jest binarny predykat „należenia do”, oznaczany symbolem ∈. Również niezależnie od siebie, zaproponowali oni zastąpienie aksjomatu podzbiorów przez aksjomat zastępowania. Stosując wspomniany schemat oraz dodając do teorii mnogości Zermela aksjomat regularności, zaproponowany przez Zermela w 1930 roku, otrzymuje się teorię ZF.

Aksjomaty Zermela-Fraenkla

Aksjomat ekstensjonalności

 Główny artykuł: Aksjomat ekstensjonalności.
Jeżeli zbiory i mają te same elementy, to są identyczne:

Aksjomat zbioru pustego

 Główny artykuł: Aksjomat zbioru pustego.
Istnieje zbiór, który nie ma żadnego elementu:
Na mocy aksjomatu ekstensjonalności istnieje tylko jeden zbiór posiadający taką właściwość: zbiór pusty, oznaczany symbolem

Aksjomat podzbiorów

 Główny artykuł: Aksjomat podzbiorów.
Inne nazwy: aksjomat wyróżniania, aksjomat wycinania.
Dla każdego zbioru istnieje zbiór , złożony z tych i tylko tych elementów zbioru , które mają własność :
Aksjomat podzbiorów daje się wyprowadzić z aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu zastępowania.

Aksjomat pary

 Główny artykuł: Aksjomat pary.
Dla dowolnych zbiorów i istnieje zbiór , którego elementami są dokładnie zbiory oraz :

Aksjomat sumy

 Główny artykuł: Aksjomat sumy.
Dla dowolnej rodziny zbiorów istnieje zbiór , do którego należą dokładnie te elementy , które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny :

Aksjomat zbioru potęgowego

 Główny artykuł: Aksjomat zbioru potęgowego.
Dla każdego zbioru istnieje zbiór , którego elementami są dokładnie podzbiory zbioru :

Aksjomat nieskończoności

 Główny artykuł: Aksjomat nieskończoności.
Istnieje zbiór induktywny:
Istnieje wiele takich zbiorów.
Część wspólna wszystkich takich zbiorów jest najmniejszym zbiorem o tych właściwościach i określa zbiór liczb naturalnych.

Aksjomat zastępowania

 Główny artykuł: Aksjomat zastępowania.
Aksjomat podzbiorów jest jego słabszą wersją.
Jeżeli dla każdego istnieje dokładnie jeden , dla którego zachodzi , to dla dowolnego zbioru istnieje taki zbiór , że:
przy czym:

Aksjomat regularności

 Główny artykuł: Aksjomat regularności.
Inna nazwa: aksjomat ufundowania.
Każdy niepusty zbiór ma element rozłączny z :
Jest on niezależny od pozostałych aksjomatów. Rozważane są teorie, w których jako aksjomat przyjmuje się jego negację. Występujące w takich teoriach nieufundowane zbiory noszą nazwę hiperzbiorów.

Aksjomat wyboru

 Główny artykuł: Aksjomat wyboru.
Dla dowolnej rodziny zbiorów niepustych parami rozłącznych istnieje selektor (zbiór, do którego należy dokładnie jeden element z każdego zbioru należącego do rodziny).
przy czym:
Za pomocą pozostałych aksjomatów można udowodnić równoważność tego aksjomatu z lematem Kuratowskiego-Zorna oraz twierdzeniem, że w każdym zbiorze istnieje relacja dobrego porządku, a także z aksjomatem multiplikacji głoszącym, że dla dowolnej indeksowanej rodziny niepustych zbiorów istnieje funkcja wyboru
taka, że:
dla wszystkich .

Zobacz też

  1. W literaturze przedmiotu dominuje dopełniacz nazwiska w postaci nieodmienionej, czyli „aksjomaty Zermelo”, co jest niezgodne z polskimi zasadami deklinacji; sporadycznie pojawia się, również niepoprawna, forma „Zermeli”.
  2. Znacznie rzadziej występuje oboczność „Fraenkela”.

Bibliografia

  • Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7.
  • Agnieszka Wojciechowska: Elementy logiki i teorii mnogości. Warszawa: PWN, 1979. ISBN 83-01-00756-7.

Linki zewnętrzne