Aksjomaty Zermela-Fraenkla: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
→Linki zewnętrzne: szablon |
→Linki zewnętrzne: szablon |
||
Linia 89: | Linia 89: | ||
== Linki zewnętrzne == |
== Linki zewnętrzne == |
||
Artykuły na [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]] {{lang|en}}: |
|||
* {{cytuj stronę | url = https://plato.stanford.edu/entries/set-theory |
* {{cytuj stronę | url = https://plato.stanford.edu/entries/zermelo-set-theory/ | tytuł = Zermelo set theory | data = 2013 }} |
||
* {{cytuj stronę | url = https://plato.stanford.edu/entries/set-theory-constructive/ | tytuł = Konstruktywne i intuicjonistyczne ZF | data = 2014 }} |
|||
[[Kategoria:Aksjomaty Zermela-Fraenkla| ]] |
[[Kategoria:Aksjomaty Zermela-Fraenkla| ]] |
Wersja z 14:50, 18 sty 2018
Aksjomaty Zermela[a]-Fraenkla[b], aksjomatyka Zermela-Fraenkla – powszechnie przyjmowany układ aksjomatów teorii mnogości zaproponowany przez Ernsta Zermela w 1904 roku i później uzupełniony przez Abrahama Fraenkla. Tym, co w istocie Fraenkel dodał do teorii Zermela, były funkcje[c].
Dla aksjomatyki Zermela-Fraenkla stosuje się często wygodną symbolikę ZF. Ze względu na specyfikę jednego z jej aksjomatów zwanego aksjomatem wyboru, stosuje się także obok ZF oznaczenie ZFC dla zaznaczenia, że dowód jakiegoś twierdzenie wymaga lub nie wymaga zastosowania aksjomatu wyboru.
Historia
W 1908 roku Ernst Zermelo zaproponował pierwszy zestaw aksjomatów teorii mnogości: teorię mnogości Zermela. Ta aksjomatyczna teoria nie umożliwiała konstrukcji liczb porządkowych. Choć większość „zwykłej matematyki” można wyprowadzić bez ich używania, jednak liczby porządkowe są nieodzowne w większości badań teoriomnogościowych[c]. Ponadto, jeden z aksjomatów Zermela odwoływał się do bliżej niewyjaśnionego pojęcia „określonej” właściwości. W 1922 roku Abraham Fraenkel i Thoralf Skolem zaproponowali, niezależnie, uściślenie pojęcia „określoności” właściwości jako takich, które mogą zostać sformułowane w rachunku predykatów z równością, w którym jedynym symbolem spoza logiki jest binarny predykat „należenia do”, oznaczany symbolem ∈. Również niezależnie od siebie, zaproponowali oni zastąpienie aksjomatu podzbiorów przez aksjomat zastępowania. Stosując wspomniany schemat oraz dodając do teorii mnogości Zermela aksjomat regularności, zaproponowany przez Zermela w 1930 roku, otrzymuje się teorię ZF.
Aksjomaty Zermela-Fraenkla
Aksjomat ekstensjonalności
- Główny artykuł:
- Jeżeli zbiory i mają te same elementy, to są identyczne:
Aksjomat zbioru pustego
- Główny artykuł:
- Istnieje zbiór, który nie ma żadnego elementu:
- Na mocy aksjomatu ekstensjonalności istnieje tylko jeden zbiór posiadający taką właściwość: zbiór pusty, oznaczany symbolem
Aksjomat podzbiorów
- Główny artykuł:
- Inne nazwy: aksjomat wyróżniania, aksjomat wycinania.
- Dla każdego zbioru istnieje zbiór , złożony z tych i tylko tych elementów zbioru , które mają własność :
- Aksjomat podzbiorów daje się wyprowadzić z aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu zastępowania.
Aksjomat pary
- Główny artykuł:
- Dla dowolnych zbiorów i istnieje zbiór , którego elementami są dokładnie zbiory oraz :
Aksjomat sumy
- Główny artykuł:
- Dla dowolnej rodziny zbiorów istnieje zbiór , do którego należą dokładnie te elementy , które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny :
Aksjomat zbioru potęgowego
- Główny artykuł:
- Dla każdego zbioru istnieje zbiór , którego elementami są dokładnie podzbiory zbioru :
Aksjomat nieskończoności
- Główny artykuł:
- Istnieje zbiór induktywny:
-
- Istnieje wiele takich zbiorów.
- Część wspólna wszystkich takich zbiorów jest najmniejszym zbiorem o tych właściwościach i określa zbiór liczb naturalnych.
Aksjomat zastępowania
- Główny artykuł:
- Aksjomat podzbiorów jest jego słabszą wersją.
- Jeżeli dla każdego istnieje dokładnie jeden , dla którego zachodzi , to dla dowolnego zbioru istnieje taki zbiór , że:
-
-
- przy czym:
Aksjomat regularności
- Główny artykuł:
- Inna nazwa: aksjomat ufundowania.
- Każdy niepusty zbiór ma element rozłączny z :
- Jest on niezależny od pozostałych aksjomatów. Rozważane są teorie, w których jako aksjomat przyjmuje się jego negację. Występujące w takich teoriach nieufundowane zbiory noszą nazwę hiperzbiorów.
Aksjomat wyboru
- Główny artykuł:
- Dla dowolnej rodziny zbiorów niepustych parami rozłącznych istnieje selektor (zbiór, do którego należy dokładnie jeden element z każdego zbioru należącego do rodziny).
-
- przy czym:
- Za pomocą pozostałych aksjomatów można udowodnić równoważność tego aksjomatu z lematem Kuratowskiego-Zorna oraz twierdzeniem, że w każdym zbiorze istnieje relacja dobrego porządku, a także z aksjomatem multiplikacji głoszącym, że dla dowolnej indeksowanej rodziny niepustych zbiorów istnieje funkcja wyboru
- taka, że:
- dla wszystkich .
- taka, że:
Zobacz też
Uwagi
- ↑ W literaturze przedmiotu dominuje dopełniacz nazwiska w postaci nieodmienionej, czyli „aksjomaty Zermelo”, co jest niezgodne z polskimi zasadami deklinacji; sporadycznie pojawia się, również niepoprawna, forma „Zermeli”.
- ↑ Znacznie rzadziej występuje oboczność „Fraenkela”.
- ↑ a b Umożliwiają one m.in. konstrukcję . Przykładowo może być równe m.in. , czy … (jedynym ograniczeniem na jest , zob. współkońcowość). Pierwszym zbiorem, którym nie może być jest .
Bibliografia
- Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7.
- Agnieszka Wojciechowska: Elementy logiki i teorii mnogości. Warszawa: PWN, 1979. ISBN 83-01-00756-7.
Linki zewnętrzne
Artykuły na Stanford Encyclopedia of Philosophy (ang.):
- Zermelo set theory. 2013.
- Konstruktywne i intuicjonistyczne ZF. 2014.