Złożenie funkcji: Różnice pomiędzy wersjami

Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Dodane 27 bajtów ,  1 rok temu
m
m (Wycofano edycje użytkownika 195.234.20.195 (dyskusja). Autor przywróconej wersji to Zbisem.)
Znacznik: Wycofanie zmian
m (WP:SK+Bn)
{{Spis treści}}
'''Złożenie (superpozycja) funkcji''' – podstawowa operacja w matematyce, polegająca na tym, że efekt kolejnego stosowania dwóch (lub więcej) [[Funkcja |funkcji]] (ze [[zbiór |zbioru]] w zbiór), a także przekształceń, odwzorowań, transformacji, [[Relacja dwuargumentowa |relacji dwuargumentowych]], traktuje się jako wynik stosowania jednej funkcji (lub relacji) złożonej.
 
== Definicja ==
Niech <math>f: X \to Y</math> oraz <math>g: Y \to Z</math> będą dowolnymi funkcjami. Ich '''złożeniem''' nazywamy funkcję <math>h: X \to Z</math> taką, że:
: <math>h(x)=g\left(f(x)\right)</math> dla <math>x \in X.</math>.
 
Funkcje <math>f</math> oraz <math>g</math> nazywa się ''funkcjami składanymi'', zaś <math>h</math> nosi również nazwę '''funkcji złożonej'''.
 
Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany <math>\circ.</math>. Dla powyższych funkcji
: <math>h = g \circ f,</math>,
 
zatem dla dowolnego <math>x</math> z dziedziny funkcji <math> f</math> mamy równość:
: <math>h(x) = g\left(f(x)\right) = (g \circ f)(x).</math>.
 
== Własności ==
Łączność operatora składania oznacza, że <math>f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h,</math>, czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis <math>f \circ g \circ h.</math>.
 
Z istnienia złożenia <math>g \circ f</math> nie wynika istnienie <math>f \circ g.</math>. Jest to możliwe wtedy, gdy zbiór <math>X</math> jest tożsamy z <math>Z.</math>. Mamy wówczas <math>f \circ g\colon Y \to Y,</math>, w takim przypadku <math>f \circ g</math> na ogół różni się od funkcji <math>g \circ f.</math>.
 
=== Przykład ===
Niech <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x) = 2x+1</math> i <math>g\colon \mathbb R \to \mathbb R, g(x) = x^2.</math>. Wtedy
 
: <math>(g \circ f)\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; (g \circ f)(x) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1</math>, natomiast
Wtedy
: <math>(f \circ g)\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; (f \circ g)(x) = 2(x^2) + 1 = 2x^2 + 1</math>.
: <math>(g \circ f)\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; (g \circ f)(x) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1,</math>, natomiast
 
natomiast
: <math>(f \circ g)\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; (f \circ g)(x) = 2(x^2) + 1 = 2x^2 + 1.</math>.
 
Widać, iż <math>g \circ f</math> jest inna niż <math>f \circ g.</math>.
 
== Struktura grupy ==
 
=== Przykład ===
* <math>\Sigma_X,</math>, czyli [[Grupa permutacji|grupa symetryczna]] danego zbioru <math>X,</math>, oznaczana również przez <math>S_X</math> albo <math>\operatorname{Sym}(X),</math>, czyli grupa wszystkich bijekcji <math>f\colon X \to X.</math>.
* Zbiór wszystkich odwzorowań <math>f\colon X \to X</math> jest półgrupą, a nawet [[monoid]]em, w którym rolę elementu neutralnego pełni [[Funkcja tożsamościowa|odwzorowanie tożsamościowe]].
 
=== Składanie funkcji samej ze sobą ===
Jeżeli <math>f\colon X \to X,</math>, to można wykonać złożenie <math>f</math> samą ze sobą – otrzymaną funkcję <math>f \circ f</math> oznacza się zazwyczaj <math>f^2.</math>. Analogicznie, <math>f^3 = f \circ f \circ f</math> itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się [[iteracja odwzorowania|iteracją]].
 
Dodatkowo funkcję <math>f,</math>, dla której <math>(f \circ f)(x) = x</math> nazywamy [[inwolucja (matematyka)|inwolucją]]; jej przykładem w geometrii jest [[inwersja (geometria)|inwersja]].
 
Tradycyjnie ''f'' <sup>2</sup>² jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły [[funkcja|iloczyn funkcji]] (nazywany też iloczynem punktowym), czyli <math>f^2 (x) = f(x) \cdot f(x)</math> dla każdego <math>x \in X .</math>. W szczególności umowa ta dotyczy [[funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]], np. we wzorze: <math>\sin^2 x + \cos^2 x = 1</math> zapis <math>\sin^2 x</math> oznacza właśnie <math>\sin x \cdot \sin x = (\sin x)^2.</math>.
 
== Zobacz też ==

Menu nawigacyjne