|
|
Linia 13: |
Linia 13: |
|
|
|
|
|
Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci: |
|
Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci: |
|
: <math>\int f(g(x)) g^\prime(x) dx,</math> |
|
: <math>\int f(g(x)) g'(x) dx,</math> |
|
|
|
|
|
to można zmienić podstawę całkowania na <math>g(x){:}</math> |
|
to można zmienić podstawę całkowania na <math>g(x){:}</math> |
Linia 121: |
Linia 121: |
|
=== Inne podstawienia === |
|
=== Inne podstawienia === |
|
* Całki typu <math>\int R(e^x)dx</math> obliczamy przez podstawienie <math>e^x = t.</math> Stąd: <math>x = \ln{t}, \quad dx = \frac{dt}{t}.</math> |
|
* Całki typu <math>\int R(e^x)dx</math> obliczamy przez podstawienie <math>e^x = t.</math> Stąd: <math>x = \ln{t}, \quad dx = \frac{dt}{t}.</math> |
|
* Całki typu <math>\int R\left(x, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_1}, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_2}, \dots, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_n}\right)dx,</math> gdzie p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub>, \dots, p<sub>n</sub> są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając <math>\frac{ax+b}{cx+d} = t^k,</math> gdzie k jest [[Najmniejsza wspólna wielokrotność|najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb]] p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub>, \dots, p<sub>n</sub>. |
|
* Całki typu <math>\int R\left(x, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_1}, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_2}, \dots, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_n}\right)dx,</math> gdzie p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub>, ..., p<sub>n</sub> są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając <math>\frac{ax+b}{cx+d} = t^k,</math> gdzie k jest [[Najmniejsza wspólna wielokrotność|najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb]] p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub>, ..., p<sub>n</sub>. |
|
|
|
|
|
== Zobacz też == |
|
== Zobacz też == |
Całkowanie przez podstawienie – jedna z metod obliczania zamkniętych form całek.
Opis metody
Jeśli:
- Funkcja jest różniczkowalna w
- jest przedziałem
- Funkcja ma funkcję pierwotną w przedziale tzn. dla należących do
to funkcja jest całkowalna w oraz:
Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:
to można zmienić podstawę całkowania na
W przypadku obliczania całek oznaczonych poprzez podstawienie zmianie ulegają granice całkowania. W takim przypadku twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wygląda następująco:
Założenia:
- Funkcja jest całkowalna w swej dziedzinie.
- Funkcja określona na przedziale jest różniczkowalna w sposób ciągły.
- dla każdego z przedziału
- Obraz funkcji zawiera się w dziedzinie funkcji
Wówczas:
Przykłady
- Obliczając całkę zastosować można podstawienie tzn. więc:
- Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:
Przydatne podstawienia
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci ) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:
- W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.
- Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus stosuje się podstawienie
- Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus stosuje się podstawienie
- Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie stosuje się podstawienie
Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych można wyprowadzić czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego:
zachodzi:
W przypadku podstawienia mamy dla funkcji postaci
-
Przykłady
Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:
Podstawienia Eulera
Podstawienia Eulera stosuje się przy obliczaniu całek funkcji postaci gdzie R jest funkcją wymierną.
I podstawienie Eulera
I podstawienie można stosować, gdy a>0. Przyjmuje się wtedy: Wobec tego otrzymuje się:
Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi:
II podstawienie Eulera
II podstawienie można stosować, gdy c>0. Przyjmuje się wtedy:
Zachodzi:
Zgodnie z przyjętym podstawieniem otrzymuje się:
Drugie podstawienie Eulera można zapisać następująco:
Wtedy gdy to da się tak dobrać aby
III podstawienie Eulera
III podstawienie można stosować, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x0, x1 trójmianu Przyjmuje się wtedy:
- Stąd:
Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi:
Całkowanie różniczek dwumiennych
Różniczka dwumienna jest to wyrażenie postaci: gdzie i są niezerowymi liczbami rzeczywistymi oraz i są pewnymi liczbami wymiernymi. Niech ponadto gdzie są liczbami całkowitymi. Twierdzenie Czebyszewa mówi, iż całkę
można wyrazić za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych jedynie w trzech przypadkach:
- gdy jest liczbą całkowitą; przypadek nie wymaga podstawień.
- gdy jest liczbą całkowitą; stosuje się wtedy podstawienie
- gdy jest liczbą całkowitą; stosuje się podstawienie
Podstawienia trygonometryczne
Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:
- – podstawiamy lub
- – podstawiamy lub
- – podstawiamy lub
Inne podstawienia
- Całki typu obliczamy przez podstawienie Stąd:
- Całki typu gdzie p1, p2, ..., pn są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając gdzie k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb p1, p2, ..., pn.
Zobacz też