Całkowanie przez podstawienie: Różnice pomiędzy wersjami

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
Linia 13: Linia 13:


Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:
Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:
: <math>\int f(g(x)) g^\prime(x) dx,</math>
: <math>\int f(g(x)) g'(x) dx,</math>


to można zmienić podstawę całkowania na <math>g(x){:}</math>
to można zmienić podstawę całkowania na <math>g(x){:}</math>
Linia 121: Linia 121:
=== Inne podstawienia ===
=== Inne podstawienia ===
* Całki typu <math>\int R(e^x)dx</math> obliczamy przez podstawienie <math>e^x = t.</math> Stąd: <math>x = \ln{t}, \quad dx = \frac{dt}{t}.</math>
* Całki typu <math>\int R(e^x)dx</math> obliczamy przez podstawienie <math>e^x = t.</math> Stąd: <math>x = \ln{t}, \quad dx = \frac{dt}{t}.</math>
* Całki typu <math>\int R\left(x, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_1}, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_2}, \dots, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_n}\right)dx,</math> gdzie p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub>, \dots, p<sub>n</sub> są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając <math>\frac{ax+b}{cx+d} = t^k,</math> gdzie k jest [[Najmniejsza wspólna wielokrotność|najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb]] p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub>, \dots, p<sub>n</sub>.
* Całki typu <math>\int R\left(x, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_1}, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_2}, \dots, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_n}\right)dx,</math> gdzie p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub>, ..., p<sub>n</sub> są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając <math>\frac{ax+b}{cx+d} = t^k,</math> gdzie k jest [[Najmniejsza wspólna wielokrotność|najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb]] p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub>, ..., p<sub>n</sub>.


== Zobacz też ==
== Zobacz też ==

Wersja z 03:00, 14 mar 2019

Całkowanie przez podstawienie – jedna z metod obliczania zamkniętych form całek.

Opis metody

Jeśli:

  • Funkcja jest różniczkowalna w
  • jest przedziałem
  • Funkcja ma funkcję pierwotną w przedziale tzn. dla należących do

to funkcja jest całkowalna w oraz:

Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:

to można zmienić podstawę całkowania na

W przypadku obliczania całek oznaczonych poprzez podstawienie zmianie ulegają granice całkowania. W takim przypadku twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wygląda następująco:

Założenia:

  • Funkcja jest całkowalna w swej dziedzinie.
  • Funkcja określona na przedziale jest różniczkowalna w sposób ciągły.
  • dla każdego z przedziału
  • Obraz funkcji zawiera się w dziedzinie funkcji

Wówczas:

Przykłady

  • Obliczając całkę zastosować można podstawienie tzn. więc:
  • Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:

Przydatne podstawienia

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci ) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:

  • W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.
  • Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus stosuje się podstawienie
  • Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus stosuje się podstawienie
  • Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie stosuje się podstawienie

Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych można wyprowadzić czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego:

zachodzi:

W przypadku podstawienia mamy dla funkcji postaci

Przykłady

Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:

Podstawienia Eulera

Podstawienia Eulera stosuje się przy obliczaniu całek funkcji postaci gdzie R jest funkcją wymierną.

I podstawienie Eulera

I podstawienie można stosować, gdy a>0. Przyjmuje się wtedy: Wobec tego otrzymuje się:

Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi:

II podstawienie Eulera

II podstawienie można stosować, gdy c>0. Przyjmuje się wtedy:

Zachodzi:

Zgodnie z przyjętym podstawieniem otrzymuje się:

Drugie podstawienie Eulera można zapisać następująco:

Wtedy gdy to da się tak dobrać aby

III podstawienie Eulera

III podstawienie można stosować, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x0, x1 trójmianu Przyjmuje się wtedy:

Stąd:

Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi:

Całkowanie różniczek dwumiennych

Różniczka dwumienna jest to wyrażenie postaci: gdzie i są niezerowymi liczbami rzeczywistymi oraz i są pewnymi liczbami wymiernymi. Niech ponadto gdzie są liczbami całkowitymi. Twierdzenie Czebyszewa mówi, iż całkę

można wyrazić za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych jedynie w trzech przypadkach:

  • gdy jest liczbą całkowitą; przypadek nie wymaga podstawień.
  • gdy jest liczbą całkowitą; stosuje się wtedy podstawienie
  • gdy jest liczbą całkowitą; stosuje się podstawienie

Podstawienia trygonometryczne

Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:

  • – podstawiamy lub
  • – podstawiamy lub
  • – podstawiamy lub

Inne podstawienia

  • Całki typu obliczamy przez podstawienie Stąd:
  • Całki typu gdzie p1, p2, ..., pn są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając gdzie k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb p1, p2, ..., pn.

Zobacz też