Złożenie funkcji

Złożenie (superpozycja) funkcji – podstawowa operacja w matematyce, polegająca na tym, że efekt kolejnego stosowania dwóch (lub więcej) funkcji (ze zbioru w zbiór), a także przekształceń, odwzorowań, transformacji, relacji dwuargumentowych, traktuje się jako wynik stosowania jednej funkcji (lub relacji) złożonej.

Definicja

Niech $f\colon X\to Y$ oraz $g\colon Y\to Z$ będą dowolnymi funkcjami. Ich złożeniem nazywamy funkcję $h\colon X\to Z$ taką, że:

$h(x)=g\left(f(x)\right)$ dla $x\in X.$

Funkcje $f$ oraz $g$ nazywa się funkcjami składanymi, zaś $h$ nosi również nazwę funkcji złożonej.

Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany $\circ .$ Dla powyższych funkcji

$h=g\circ f,$

zatem dla dowolnego $x$ z dziedziny funkcji $f$ mamy równość:

$h(x)=g\left(f(x)\right)=(g\circ f)(x).$

Własności

Łączność operatora składania oznacza, że $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h,$ czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis $f\circ g\circ h.$

Istotną cechą złożenia funkcji, czyli immanentną cechą operatora $\circ$, jest nieprzemienność. Złożenie $g\circ f$ oznacza relację: $g$  «po» $f$,  $g$  «z» lub «dzięki» $f$,  czy też $g$  «w skutek» lub «utworzony z» $f$  (eng. after, of, following, composed).

Tak więc złożenie $g\circ f$ nie jest tożsame z $f\circ g.$ Jest to (wyjątkowo) możliwe tylko wtedy, gdy zbiór $X$ jest tożsamy z $Z.$ Mamy wówczas $f\circ g\colon Y\to Y,$ w takim przypadku $f\circ g$ na ogół różni się od funkcji $g\circ f.$

Przykład

Niech $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f(x)=2x+1$ i $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,g(x)=x^{2}.$

Wtedy

$(g\circ f)\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;(g\circ f)(x)=(2x+1)^{2}=4x^{2}+4x+1,$

natomiast

$(f\circ g)\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;(f\circ g)(x)=2(x^{2})+1=2x^{2}+1.$

Widać, iż $g\circ f$ jest inna niż $f\circ g.$

Struktura grupy

Operacja składania funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących matematyków zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ona strukturę półgrupy lub grupy.

Przykład

• $\Sigma _{X},$ czyli grupa symetryczna danego zbioru $X,$ oznaczana również przez $S_{X}$ albo $\operatorname {Sym} (X),$ czyli grupa wszystkich bijekcji $f\colon X\to X.$
• Zbiór wszystkich odwzorowań $f\colon X\to X$ jest półgrupą, a nawet monoidem, w którym rolę elementu neutralnego pełni odwzorowanie tożsamościowe.

Składanie funkcji samej ze sobą

Jeżeli $f\colon X\to X,$ to można wykonać złożenie $f$ samą ze sobą – otrzymaną funkcję $f\circ f$ oznacza się zazwyczaj $f^{2}.$ Analogicznie, $f^{3}=f\circ f\circ f$ itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się iteracją.

Dodatkowo funkcję $f,$ dla której $(f\circ f)(x)=x$ nazywamy inwolucją; jej przykładem w geometrii jest inwersja.

Tradycyjnie f ² jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły iloczyn funkcji (nazywany też iloczynem punktowym), czyli $f^{2}(x)=f(x)\cdot f(x)$ dla każdego $x\in X.$ W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych, np. we wzorze: $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ zapis $\sin ^{2}x$ oznacza właśnie $\sin x\cdot \sin x=(\sin x)^{2}.$

Zobacz też

• funkcja odwrotna
• reguła łańcuchowa
• teoria kategorii
• układ dynamiczny