Równanie różniczkowe: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja nieprzejrzana]

Usunięta treść Dodana treść

Jednokolumnowy

Wersja z 15:57, 8 maj 2020

Równanie różniczkowe – jest to równanie określające zależność pomiędzy nieznaną funkcją (wielu zmiennych), a jej pochodnymi (cząstkowymi)^[1].

Rozwiązanie zwyczajnego równania różniczkowego polega na znalezieniu funkcji $y(x)$ takiej, która spełnia to równanie (to znaczy przekształca je w tożsamość). Na przykład równanie różniczkowe $y''+y=0$ ma ogólne rozwiązanie w postaci $y=A\cos {x}+B\sin {x},$ gdzie $A$ i $B$ są stałymi wyznaczanymi na podstawie warunków brzegowych.

Równania różniczkowe można podzielić na:

równania różniczkowe zwyczajne – w których szukamy funkcji jednej zmiennej,
równania różniczkowe cząstkowe – w których szukamy funkcji wielu zmiennych.

Istnieją metody rozwiązywania równań różniczkowych pewnych szczególnych typów, jednak wiele równań różniczkowych nie ma rozwiązań, które dałyby się wyrazić w postaci jawnej. W praktyce matematycznej często ważniejszą informacją od samej postaci rozwiązania jest informacja o jego istnieniu (gdyż nie każde równanie różniczkowe musi je mieć). W przypadku równań różniczkowych, o których wiadomo, że mają rozwiązanie, często (szczególnie w zastosowaniach) wystarczające jest znalezienie rozwiązania przybliżonego (np. stosując metodę aproksymacji). Obecnie prowadzi się wiele badań nad kolejnymi schematami rozwiązywania równań różniczkowych, gdyż mają one wiele zastosowań praktycznych. Przy wielu uniwersytetach powstają specjalne katedry równań różniczkowych zajmujące się praktycznie tylko szukaniem rozwiązań kolejnych przełomowych równań.

Oprogramowanie

Istnieje oprogramowanie, które może rozwiązać równania różniczkowe: Maple, SageMath, Xcas, ExpressionsBar i inne.

Przykłady równań różniczkowych w różnych dziedzinach

równania Cauchy’ego-Riemanna w analizie zespolonej
równania Einsteina-Infelda-Hoffmanna
równania Hamiltona w mechanice klasycznej
równania Maxwella
równania opisujące konwekcję swobodną w termodynamice
równania opisujące zasady dynamiki Newtona
równania związane z czasem połowicznego rozpadu izotopów w fizyce jądrowej
równanie Einsteina w teorii względności
równanie falowe
równanie Naviera-Stokesa w mechanice płynów
równanie Poissona-Boltzmanna
równanie przewodnictwa cieplnego w termodynamice
równanie Laplace’a opisujące harmoniki
równanie Poissona
równanie Schrödingera w mechanice kwantowej

Zobacz też

metoda Eulera
rachunek różniczkowy i całkowy
równanie różniczkowe zupełne
zagadnienie Cauchy’ego (zagadnienie początkowe)

Przypisy

↑ В.И.Смирнов, "Курс высшей математики", tom II, Гос. Издат. Тех-теор. литературы, Москва 1951

[Smir-1] В.И.Смирнов, "Курс высшей математики", tom II, Гос. Издат. Тех-теор. литературы, Москва 1951

[1]

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
 '''Równanie różniczkowe''' – jest to [[równanie]] określające zależność pomiędzy nieznaną [[funkcja|funkcją]] (wielu zmiennych), a jej [[Pochodna funkcji|pochodnymi (cząstkowymi)]]{{r|Smir}}.
-[[Rozwiązanie zwyczajnego równania różniczkowego]] polega na znalezieniu funkcji <math>y(x)</math> takiej, która spełnia to równanie. Na przykład równanie różniczkowe <math>y'' + y = 0</math> ma ogólne rozwiązanie w postaci <math>y = A \cos{x} + B \sin{x},</math> gdzie <math>A</math> i <math>B</math> są stałymi wyznaczanymi na podstawie [[zagadnienie brzegowe|warunków brzegowych]].
+[[Rozwiązanie zwyczajnego równania różniczkowego]] polega na znalezieniu funkcji <math>y(x)</math> takiej, która spełnia to równanie (to znaczy przekształca je w tożsamość). Na przykład równanie różniczkowe <math>y'' + y = 0</math> ma ogólne rozwiązanie w postaci <math>y = A \cos{x} + B \sin{x},</math> gdzie <math>A</math> i <math>B</math> są stałymi wyznaczanymi na podstawie [[zagadnienie brzegowe|warunków brzegowych]].
 Równania różniczkowe można podzielić na: