Całkowanie przez podstawienie: Różnice pomiędzy wersjami

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
Loveless (dyskusja | edycje)
SieBot (dyskusja | edycje)
m robot dodaje: zh:换元积分法
Linia 119: Linia 119:
[[nl:Integratie door substitutie]]
[[nl:Integratie door substitutie]]
[[vi:Phép đổi biến tích phân]]
[[vi:Phép đổi biến tích phân]]
[[zh:换元积分法]]

Wersja z 12:14, 19 sie 2007

Całkowanie przez podstawienie to jedna z metod obliczania zamkniętych form całek.

Opis metody

Jeśli:

  • Funkcja jest różniczkowalna w
  • jest przedziałem
  • Funkcja g(x) ma funkcję pierwotną w T ()

to funkcja f jest całkowalna w i zachodzi:

Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:

,

to można zmienić podstawę całkowania na :

.

W przypadku obliczania całek oznaczonych poprzez podstawienie zmianie ulegają granice całkowania. W takim przypadku twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wygląda następująco:

Zakładamy, że:

  • Funkcja f jest całkowalna w swej dziedzinie.
  • Funkcja g określona na przedziale [a; b] jest różniczkowalna w sposób ciągły.
  • g'(x)≠0 dla każdego x z przedziału (a; b)
  • Obraz funkcji g zawiera się w dziedzinie funkcji f.

Wówczas:

Przykłady

  • Obliczając całkę , zastosować można podstawienie , więc:
  • Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:

Przydatne podstawienia

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci ) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:

  • W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne . Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.
  • Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus (), stosuje się podstawienie
  • Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus (), stosuje się podstawienie
  • Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie (), stosuje się podstawienie

Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych wyprowadzić można czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego: zachodzi:

W przypadku podstawienia mamy dla funkcji postaci : ,

Przykłady

Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:

Podstawienia Eulera

Podstawienia Eulera stosujemy przy obliczaniu całek funkcji postaci , gdzie R jest funkcją wymierną.

I podstawienie Eulera

I podstawienie stosować można, gdy a>0. Przyjmujemy wtedy: . Wobec tego otrzymujemy:

,

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle dx=\frac{2t(b-2\sqrt{a}t)+2\sqrt{a}(t^2-c)}{(b-2\sqrt{a}t)^2}dt} .

Zgodnie z przyjętym podstawieniem, mamy: .

II podstawienie Eulera

II podstawienie stosować można, gdy c≥0. Przyjmujemy wówczas: . Mamy zatem:

,

.

Zgodnie z przyjętym podstawieniem, otrzymujemy: .

III podstawienie Eulera

III podstawienie stosować można, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x0, x1 trójmianu . Przyjmujemy wtedy: . Stąd:

,

.

Zgodnie z przyjętym podstawieniem, mamy:

Całkowanie różniczek dwumiennych

Różniczka dwumienna jest to wyrażenie postaci: , gdzie a,b są liczbami rzeczywistymi (niezerowymi), zaś m, n, p liczbami wymiernymi. Przyjmijmy ponadto , gdzie q, r są całkowite. Twierdzenie Czebyszewa mówi, iż całkę można wyrazić za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych jedynie w trzech przypadkach:

  • gdy p jest liczbą całkowitą ; przypadek nie wymaga podstawień.
  • gdy jest liczbą całkowitą; stosujemy wtedy podstawienie .
  • gdy jest liczbą całkowitą; stosujemy podstawienie .

Podstawienia trygonometryczne

Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:

  • - podstawiamy lub
  • - podstawiamy lub
  • - podstawiamy lub

Inne podstawienia

  • Całki typu obliczamy przez podstawienie . Stąd: .
  • Całki typu , gdzie p1, p2, ..., pn są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając , gdzie k jest najmniejszym wspólnym mianownikiem liczb p1, p2, ..., pn.

Zobacz też