Zbieżność prawie wszędzie: Różnice pomiędzy wersjami

Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
drobne redakcyjne; propozycja integracji (to samo pojęcie w dwóch różnych ujęciach/językach)
(drobne redakcyjne; propozycja integracji (to samo pojęcie w dwóch różnych ujęciach/językach))
{{integruj|Zbieżność z prawdopodobieństwem 1}}
'''Zbieżność prawie wszędzie''' ciągu funkcji względem (pewnej) [[miara (matematyka)|miary]] to rodzaj zbieżności [[ciąg funkcyjny|ciągów funkcyjnych]] rozważany w [[teoria miary|teorii miary]] i [[analiza matematyczna|analizie matematycznej]]. Pojęcie pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku.
 
 
==Definicja==
Niech <math>(f_n)_{nX,\in\mathbbmathfrak{N}M},\mu)</math> będzie ciągiem funkcji [[funkcjaPrzestrzeń prawiemierzalna|przestrzenią wszędziemierzalną]] skończona|prawiez wszędzie[[Miara skończonych(matematyka)|miarą]]. <math>f_n,(tak f\colonwięc A\longrightarroww \overline{\mathbb{R}},szczególności <math>\mu\colon\mathfrak{M}\longrightarrow [0,\infty]</math>). -Przypuśćmy, miara.że <math>A\in\mathfrak{M}</math>. oraz <brmath>f_n, f\colon A\longrightarrow \overline{\mathbb{R}}</math>.
 
Mówimy, że ciąg <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> jest '''prawie wszędzie zbieżny do funkcji''' <math>f\;</math> prawie wszędzie (względem miary <math>\mu\;</math> na zbiorze <math>A\;</math>), wtedy i tylko wtedy, gdy: można znaleźć zbiór <math>B\subseteq A</math>, <math>B\in \mathfrak{M}</math> taki że <math>\mu(A\setminus B)=0 </math> oraz
:<math>\bigvee_{\mathfrak{M}\ni B\subset A}</math><math>\left[\mu(A\setminus B)=0\wedge\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x),\quad x\in A\right]</math>
:<math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)</math> dla wszystkich <math>x\in A\setminus B</math>.
 
Formułując tę definicję inaczej, powiemy że ciąg funkcji <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji ''f'', jeśli jest on [[Zbieżność punktowa ciągu funkcji|zbieżny punktowo]] do funkcji ''f'' ''poza zbiorem miary <math>\mu</math> zero''.
 
==Twierdzenia o zbieżności prawie wszędzie==
3518

edycji

Menu nawigacyjne