Zbieżność prawie wszędzie

Zbieżność prawie wszędzie ciągu funkcji względem (pewnej) miary to rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie to pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce znane jest ono pod nazwą zbieżność z prawdopodobieństwem 1 lub prawie na pewno.

Definicja

Teoria miary

Niech $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ będzie przestrzenią mierzalną z miarą (tak więc w szczególności $\mu \colon {\mathfrak {M}}\longrightarrow [0,\infty ]$) oraz niech $(Y,d)$ będzie przestrzenią metryczną. Przypuśćmy, że $A\in {\mathfrak {M}}$ oraz $f_{n},f\colon A\longrightarrow Y$.

Mówimy, że ciąg $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji $f\;$ (względem miary $\mu \;$ na zbiorze $A\;$), wtedy i tylko wtedy, gdy można znaleźć zbiór $B\subseteq A$, $B\in {\mathfrak {M}}$ taki że $\mu (A\setminus B)=0$ oraz

$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$ dla wszystkich $x\in A\setminus B$.

Formułując tę definicję inaczej, powiemy że ciąg funkcji $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji f, jeśli jest on zbieżny punktowo do funkcji f poza zbiorem miary $\mu$ zero.

Statystyka

W statystyce, rozważamy zbieżność z prawdopodobieństwem 1 dla ciągów ciąg zmiennych losowych $X_{n}$. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych $\{X_{n}\}_{n\in {\mathbb {N} }}$ dąży z prawdopodobieństwem $1$ do zmiennej losowej $X$, przy $n$ dążącym do nieskończoności, jeśli $P\{\omega :X_{n}(\omega )\to X(\omega )\}=1\,$. Jest to więc to samo pojęcie co zdefiniowane w języku miary powyżej.

Własności

• Każdy ciąg zbieżny prawie jednostajnie jest zbieżny prawie wszędzie
• Jeśli miara $\mu$ jest σ-skończona oraz ciąg $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest $\mu$-prawie wszędzie zbieżny do funkcji $f$, to ciąg ten jest zbieżny według miary (do tej samej funkcji).
• W szczególności, jeśli ciąg zmiennych losowych określonych na danej przestrzeni probabilistycznej jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 to jest on zbieżny według prawdopodobieństwa.

Zobacz też

• Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej
• Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej
• Warunek Cauchy'ego według miary