Skończenie generowana grupa przemienna: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
m Zmiana linku ze strony przekierowującej Dziedzina ideałów głównych na Pierścień ideałów głównych przy pomocy Popups |
|||
Linia 4: | Linia 4: | ||
Niech <math>(G, +)</math> będzie przemienna. Grupę tę nazywa się '''skończenie generowaną''', jeżeli istnieje skończenie wiele takich elementów <math>x_1, \ldots, x_s \in G</math>, że każdy <math>x \in G</math> może być zapisany jako |
Niech <math>(G, +)</math> będzie przemienna. Grupę tę nazywa się '''skończenie generowaną''', jeżeli istnieje skończenie wiele takich elementów <math>x_1, \ldots, x_s \in G</math>, że każdy <math>x \in G</math> może być zapisany jako |
||
:<math>x = n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots n_s x_s</math>, |
:<math>x = n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots n_s x_s</math>, |
||
gdzie <math>n_1, \ldots, n_s</math> są [[liczby całkowite|całkowite]]. Wtedy mówi się, że zbiór <math>\{x_1, \ldots, x_s\}</math> jest ''[[zbiór |
gdzie <math>n_1, \ldots, n_s</math> są [[liczby całkowite|całkowite]]. Wtedy mówi się, że zbiór <math>\{x_1, \ldots, x_s\}</math> jest ''[[zbiór generatorów grupy|zbiorem generującym]] (generatorów)'' <math>G</math> lub że <math>x_1, \ldots, x_s</math> ''generują'' <math>G</math>. |
||
==Przykłady== |
==Przykłady== |
Wersja z 16:52, 31 mar 2008
Skończenie generowana grupa przemienna – w algebrze abstrakcyjnej grupa przemienna (abelowa), której zbiór generatorów jest skończony. Jasne jest, że każda skończona grupa abelowa jest skończenie generowana. Skończenie generowane grupy mają względnie prostą strukturę i mogą być całkowicie sklasyfikowane, jak wyjaśniono niżej.
Definicja
Niech będzie przemienna. Grupę tę nazywa się skończenie generowaną, jeżeli istnieje skończenie wiele takich elementów , że każdy może być zapisany jako
- ,
gdzie są całkowite. Wtedy mówi się, że zbiór jest zbiorem generującym (generatorów) lub że generują .
Przykłady
- liczby całkowite są skończenie generowaną grupą abelową,
- liczby całkowite modulo n są skończenie generowanymi grupami przemiennymi
- dowolna suma prosta skończenie wielu skończenie generowanych grup przemiennych także jest skończenie generowaną grupą przemienną
Nie ma innych przykładów. Grupa liczb wymiernych nie jest skończenie generowana: jeżeli są liczbami wymiernymi, to wybranie liczby naturalnej [[liczby względnie pierwsze|względnie pierwszej ze wszystkimi mianownikami powoduje, że <math\tfrac{1}{w}</math> nie może być wygenerowana za pomocą .
Klasyfikacja
Twierdzenie o klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych (będące szczególnym przypadkiem twierdzenia strukturalnego dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych) może być wyrażone na dwa niżej wymienione sposoby (podobnie jak dla d.i.g.).
Rozkład na czynniki pierwsze
Sformułowanie rozkładu na czynniki pierwsze mówi, że każda skończenie generowana grupa abelowa jest izomorficzna z sumą prostą cyklicznych grup o rzędzie będącym liczbą pierwszą oraz nieskończonych grup cyklicznych. To jest, każda gupa jest izomorficzna z grupą postaci
- ,
gdzie , a liczby są (niekoniecznie różnymi) potęgami liczb pierwszych. W szczególności jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy . Wartości są wyznaczone jednoznacznie (co do porządku) przez .
Rozkład na czynniki niezmiennicze
Dowolna grupa przemienna może być zapisana także jako iloczyn prosty postaci
- ,
gdzie dzieli , które dzieli i tak dalej, aż do . Znowu, liczby są jednoznacznie wyznaczone przez (tutaj wraz z jednoznacznym porządkiem) i są nazywane czynnikami niezmienniczymi.
Równoważność
Powyższe stwierdzenia są równoważne na mocy chińskiego twierdzenia o resztach, które mówi w tym wypadku, że jest izomorficzna z iloczynem prostym przez wtedy i tylko wtedy, gdy oraz są względnie pierwsze i .
Wnioski
Wyrażone inaczej twierdzenie o klasyfikacji mówi, że skończenie generowana grupa przemienna jest sumą prostą wolnej grupy przemiennej skończonej rangi i skończonej grupy przemiennej, z których każda jest wyznaczona jednoznacznie co do izomorfizmu. Skończona grupa abelowa jest po prostu podgrupą torsyjną . Ranga jest określona jako ranga beztorsyjnej części ; tzn. jest to zwyczajnie liczba w powyższych wzorach.
Wnioskiem płynącym z twierdzenia o klasyfikacji jest, że każda skończenie generowana beztorsyjna grupa przemienna jest wolna i przemienna. Warunek skończonego generowania jest tu kluczowy: jest beztorsyjna, ale nie jest wolna i abelowa.
Każda podgrupa i grupa ilorazowa skończenie generowanej grupy abelowej jest znowu skończenie generowaną grupą abelową. Skończenie generowane grupy przemienne, wraz z homomorfizmami grupowymi stanowią kategorię przemienną, będącą podkategorią Serre'a kategorii grup abelowych.
Nieskończenie generowane grupy przemienne
Należy mieć na uwadze, że nie każda grupa przemienna skończonej rangi jest skończenie generowana; grupa pierwszej rangi jest jednym z przykładów, kolejnym jest grupa rangi zerowej będąca sumą prostą przeliczalnie wielu egzemplarzy .
Zobacz też
- twierdzenie Jordana-Höldera jako uogólnienie na grupy nieprzemienne