Regula falsi: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
usuwam rysunek sprzeczny z 4 punktem opisu "Pierwsza i druga pochodna mają na tym przedziale stałe znaki." |
Istnienie pochodnej implikuje ciągłość funkcji - usunięto nadmiarowe założenie |
||
Linia 2: | Linia 2: | ||
Na funkcję <math>y=f(x)</math> nakładane są następujące ograniczenia: |
Na funkcję <math>y=f(x)</math> nakładane są następujące ograniczenia: |
||
# |
# W przedziale [a,b] znajduje się dokładnie jeden pojedynczy pierwiastek. |
||
# W przedziale znajduje się dokładnie jeden pojedynczy pierwiastek. |
|||
# Na końcach przedziału funkcja ma różne znaki: <math>f(a)f(b) < 0</math>. |
# Na końcach przedziału funkcja ma różne znaki: <math>f(a)f(b) < 0</math>. |
||
# Pierwsza i druga pochodna mają na tym przedziale stałe znaki. |
# Pierwsza i druga pochodna istnieją i mają na tym przedziale stałe znaki. |
||
Algorytm przebiega następująco: |
Algorytm przebiega następująco: |
Wersja z 17:48, 7 cze 2008
Regula falsi (łac. fałszywa linia prosta, fałszywa reguła) — algorytm rozwiązywania równań nieliniowych jednej zmiennej.
Na funkcję nakładane są następujące ograniczenia:
- W przedziale [a,b] znajduje się dokładnie jeden pojedynczy pierwiastek.
- Na końcach przedziału funkcja ma różne znaki: .
- Pierwsza i druga pochodna istnieją i mają na tym przedziale stałe znaki.
Algorytm przebiega następująco:
- Na początku przez punkty i przeprowadzana jest cięciwa.
- Punkt przecięcia z osią OX jest brany jako pierwsze przybliżenie pierwiastka.
- Jeśli to przybliżenie jest wystarczająco dobre, algorytm kończy się.
- Jeśli nie, to prowadzona jest cięciwa przez punkty oraz lub – wybierany jest ten punkt, którego rzędna ma znak przeciwny do . Jednak w praktyce, dzięki ograniczeniu nr 4 już na początku algorytmu wiadomo, który z tych punktów będzie stały, tzn. wybierany za każdym razem.
- Następnie wyznaczane jest przecięcie nowo wyznaczonej cięciwy z osią OX () i algorytm powtarza się.
Nazwa metody pochodzi od łacińskich słów: regula1 znaczące zarówno linię prostą, jak i regułę i falsus, fałszywy — metoda bazuje na fałszywym twierdzeniu (regule), że na pewnym przedziale funkcja jest liniowa. Można więc tę nazwę przetłumaczyć zarówno jako "fałszywa linia prosta" jak i "fałszywa reguła" i odbydwa te tłumaczenia mają w tym kontekście sens.
Wzory
dla
Inne numeryczne metody wyznaczania pierwiastków równania nieliniowego:
- metoda bisekcji
- metoda stycznych
- metoda siecznych
- Metoda Newtona
- algorytm Illinois (zmodyfikowana metoda siecznych)