Równanie

W matematyce równanie to forma zdaniowa złożona z dwóch lub większej liczby wyrażeń (termów zawierających stałe, symbole działań, lub zmienne), połączonych znakiem relacji równości =

Zmienne mogące występować w równaniu, oznaczone zwykle symbolami literowymi, nazywamy niewiadomymi. W równaniu złożonym z dwóch wyrażeń, wyrażenie po lewej stronie znaku równości nazywamy lewą stroną równania, wyrażenie po prawej stronie prawą stroną równania.

Równanie jest spełnione jeśli dla pewnych wartości niewiadomych wartości lewej i prawej strony są równe. Wartości niewiadomych, dla których równanie jest spełnione nazywamy rozwiązaniami lub pierwiastkami równania. Pierwiastki równania $f(x)=0$ nazywamy miejscami zerowymi funkcji. Pierwiastki równania algebraicznego $W(x)=0$ (W jest wielomianem) nazywamy pierwiastkami wielomianu.

Rozwiązywanie równania to znajdowanie jego rozwiązań.

Równanie, które nie ma rozwiązań nazywamy równaniem sprzecznym.

Równanie, które ma jedno rozwiązanie jest równaniem oznaczonym.

Równanie, które ma nieskończenie wiele rozwiązań jest równaniem nieoznaczonym.

Równanie, które spełnia każdy obiekt z jego dziedziny, nazywamy równaniem tożsamościowym.

Przykłady równań

• $1+2=0\,$ (równanie sprzeczne - nigdy nie jest spełnione)
• $1-\sin ^{2}x=\cos ^{2}x$ (równanie tożsamościowe)
• $\sin(x)=1$ dla $x\in {\mathbb {R} }$ (równanie nieoznaczone - ma nieskończenie wiele rozwiązań).
• $a={\frac {2a+5}{a^{2}}}$
• $x+y=3\,$ (równanie z dwiema niewiadomymi). Równanie to jest spełnione przez nieskończenie wiele par liczb, czyli ma nieskończenie wiele rozwiązań. Każde rozwiązanie dane jest regułą x: dowolne, y = 3 - x. Biorąc za x dowolne liczby rzeczywiste i wyliczając y z podanego wzoru, można otrzymać każde rozwiązanie badanego równania. Dla x = 2 otrzymujemy y = 1; dla x = -1 mamy y = 4 itd.
• równanie algebraiczne - każde równanie postaci $P(x)=0$ gdzie P jest wielomianem. W szczególności gdy P jest stopnia drugiego jest to równanie kwadratowe, a gdy P jest stopnia pierwszego jest to równanie liniowe.
• równanie diofantyczne - równanie, którego rozwiązania szuka się w zbiorze liczb całkowitych lub naturalnych.
• równanie funkcyjne, np. równanie różniczkowe lub równanie całkowe.

Zobacz też

• nierówność,
• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• równania równoważne,
• równość,
• układ równań,
• równania wymierne.

Źródła

• Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Prószyński i S-ka, s. 97. ISBN 83-7469-189-1.