Warstwa graniczna (mechanika płynów): Różnice pomiędzy wersjami

Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
wedycji
m (Warstwa przyścienna przeniesiono do Warstwa graniczna (mechanika płynów): warstwa przyścienna wychodzi z użycia; jest to określenie przestarzałe)
(wedycji)
{{linkiWEdycji}}
 
{{integruj|warstwa graniczna}}
 
 
----
 
Pojęcie z zakresu mechaniki płynów i aerodynamiki. Jego definicja podana jest poniżej.
 
Synonim: ''Warstwa przyścienna'' (termin używany w starszej literaturze, powoli wychodzący z użycia).
 
 
===Definicja===
 
Warstwa graniczna jest to obszar w płynie w pobliżu sztywnych ścianek, w którym lepkość płynu oraz kształt ścianek wpływają decydujaco na obraz przepływu.
 
 
===Idea warstwy granicznej===
 
Warstwa graniczna stanowi zazwyczaj cienką warstewkę tuż przy ścianie (np. opływanej bryły), stąd też w starszej polskiej literaturze określano ją terminem ''warstwa przyścienna''. Płyn poruszajacy się poza warstwą graniczną, tj. zajmujacy pozostałą część objętości określany jest często jako ''rdzeń''. W teorii warstwy granicznej rdzeń traktuje się jako [[płyn idealny]], gdyż obraz jego przepływu różni się od obrazu przepływu płynu idealnego w tak niewielkim stopniu, że różnice te mogą być pominięte. Podejście takie uprościło znacznie matematyczne rozważania nad przepływami oraz ułatwiło prowadzenie obliczeń dla oddziaływań płynu na ciała w nim zanurzone.
 
Koncepcja warstwy granicznej sformułowana została przez [[Prandtl Ludwig|Ludwika Prandtla]] na początku XX wieku i przedstawiona publicznie 12 sierpnia 1904 roku na Międzynarodowym Kongresie Matematycznym w Heidelbergu.
 
 
===Laminarna warstwa graniczna===
Sformułowna przez Prandtla koncepcja dotyczyła warstwy granicznej w warunkach [[przepływ stacjonarny|przepływu stacjonarnego]]. Uzyskał on równania opisujace ruch płynu w laminarnej warstwie granicznej (tzw. [[równania Pandtla]]) otrzymane jako uproszczenie [[Równanie Naviera-Stokesa|równania Naviera-Stokesa]] stanowiącego fundamentalne równanie ruchu płynu lepkiego.
 
'''Równania Prandtla'''
 
Przyjmując oś <math>\; x \,</math> prostokątnego układu współrzędnych równoległą do sztywnej ścianki ciała stałego, składową <math>\; x</math>-ową prędkości <math>\; u \,</math> równoległą do ścianki i zgodną z kierunkiem przepływu zasadniczego, natomiast oś <math>\, y \,</math> układu prostokątnego i <math>\; y</math>-ową składową prędkości <math>\; v \,</math> prostopadłe do ścianki, równania Prandtla przyjmują postać:
 
:<math> \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} \; = \; 0 \qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\quad (1) </math>
 
:<math> \varrho \left( u \, \frac{\partial u}{\partial x} + v \, \frac{\partial u}{\partial y} \right) \; = \; - \, \frac{\partial p}{\partial x} + \mu \, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \qquad (2) </math>
 
gdzie <math>\; p \,</math> jest ciśnieniem płynu, <math>\; \varrho \,</math> jest jego gęstością, a <math>\; \mu \,</math> - jego lepkością.
Ponadto, jeśli płyn jest nieściśliwy, wówczas:
 
:<math> \frac{\partial p}{\partial y} \; = \; 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad (3)</math>
 
Ostatnie z powyższych równań oznacza, że ciśnienie płynu przyjmować można jako stałe w poprzek warstwy granicznej. Ponieważ ciśnienie nie zmienia się w poprzek warstwy granicznej, jest ono zatem równe ciśnieniu w otoczeniu warstwy granicznej. Wyrażając ciśnienie w rdzeniu przy pomocy pędkości napływającego strumienia płynu <math>\; U \,</math> w oparciu o [[równanie Bernoulliego]] obowiązujace dla płynów idealnych otrzymamy ostatecznie:
 
:<math> u \, \frac{\partial u}{\partial x} + v \, \frac{\partial u}{\partial y} \; = \; U \, \frac{d U}{d x} + \frac{\mu}{\varrho} \, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \qquad \qquad (4) </math>
 
Układ równań różniczkowych cząstkowych (1), (4) stanowi ostateczną postać równań Prandtla dla stacjonarnej, laminarnej warstwy granicznej.
 
Pomimo zastosowanych uproszczeń równania Pandtla rozwiązać można jedynie w niezbyt licznych szczególnych przypadkach, w postaci tzw. [[Rozwiązania samopodobne|rozwiązań samopodobnych]]. Przykładem jest klasyczne rozwiązanie Blasiusa, mające postać regularną i opisujace tzw. [[Laminarna warstwa graniczna Blasiusa|laminarną warstwę graniczną Blasiusa]]. W bardziej skomplikowanych przypadkach rozwiązania równań Prandtla mają w niektórych sytuacjach postać osobliwą, co odpowiada zjawisku [[Oderwanie warstwy granicznej|oderwania warstwy granicznej]].
 
 
===Turbulentna warstwa graniczna===
 
Oderwania warstwy granicznej nie należy mylić z powstawaniem [[Turbulencja|turbulencji]]. Oprócz laminarnej warstwy granicznej, będącej przedmiotem rozważań Prandtla i jego następców, spotyka się również turbulentną warstwę graniczną.
 
Korzystając z [[Równania Reynoldsa|równań Reynoldsa]], stanowiacych odpowiednik równania Naviera-Stokesa dla przepływów turbulentnych, uzyskać można [[równania Prandtla]] dla turbulentnej warstwy granicznej. Równania te zawierają uśrednione składowe prędkości przepływu oraz uśrednione ciśnienie, a ponadto średnią wartość z iloczynu fluktuacji składowych prędkości w kierunkach równoległym i prostopadłym do sztywnej ścianki. Ta ostatnia wielkość nie jest nigdy dana a priori i określa się ją w oparciu o jeden z alternatywnych modeli turbulencji przy pomocy uśrednionych składowych prędkości oraz ich pochodnych przestrzennych.
 
Turbulizacja warstwy granicznej następuje w wyniku utraty jej stateczności. Jako kryterium stateczności stosuje się zazwyczaj [[Liczba Reynoldsa|liczbę Reynoldsa]] ''Re'', przy czym za wymiar charakterystyczny problemu przyjmuje się [[grubość warstwy granicznej]]. Często turbulizacja warstwy granicznej jest wynikiem zwiększania jej grubości w kierunku przepływu zasadniczego, co powoduje przekroczenie krytycznej wartości ''Re''.
 
 
===Zastosowania teorii warstwy granicznej===
 
Zjawiska zachodzące w warstwie granicznej wpływają decydująco na wielkość hydrodynamicznego oporu ruchu zanurzonych brył (np. karoserii samochodowych, okrętów podwodnych, etc.), a także na powstawanie siły nośnej na skrzydłach ptaków oraz samolotów. Dlatego też analiza zjawisk zachodzących w warstwie granicznej posiada fundamentalne znaczenie dla współczesnej techniki.
 
----
Zaproponowane przez Prandtla (1904) rozróżnienie przepływu [[płyn]]u na dwa regiony - cienką warstwę tuż przy ścianie (np. rury) oraz pozostałą część objętości płynu (rdzeń). Uprościło to matematyczne rozważania nad przepływami oraz ułatwiło prowadzenie obliczeń dla oddziaływań płynu na ciała w nim zanurzone. Charakter przepływu w tej warstwie może być laminarny lub burzliwy (w tym przypadku rozróżnia się dwie podwarstwy: burzliwą oraz lepką). Przykładowa grubość warstewki przyściennej może wynosić dla w pełni rozwiniętego przepływu burzliwego wody w rurze od setnych części do kilku milimetrów. Grubość tej warstwy spada wraz ze wzrostem liczby Re.
 
40 835

edycji

Menu nawigacyjne