Zasada włączeń i wyłączeń

Zasada właczeń i wyłączeń, pokazana dla trzech zbiorów

Zasada włączeń i wyłączeń - reguła kombinatoryczna, pozwalająca na określenie liczby elementów skończonej sumy mnogościowej skończonych zbiorów. Autorstwo zasady przypisywane jest zazwyczaj Abrahamowi de Moivre, chociaż bywa nazywana od nazwisk matematyków, Jamesa Josepha Sylvestera oraz Henriego Poincaré.

Twierdzenie

Niech $A_{1},A_{2}\dots A_{n}$ będą dowolnymi zbiorami zaś $i,j,k\in \{1,\ldots ,n\}$. Wówczas

$\left|\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|=\sum _{i=1}^{n}\left|A_{i}\right|-\sum _{i,j:\,i<j}\left|A_{i}\cap A_{j}\right|+$

$+\sum _{i,j,k:\,i<j<k}\left|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}\right|-\ \dots +(-1)^{n-1}\left|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right|$,

gdzie $\left|A_{k}\right|$ oznacza moc zbioru $A_{k}\,$

Przykład

Dla trzech zbiorów skończonych $A_{1},A_{2},A_{3}$ liczba elementów ich sumy wyraża się wzorem:

$\left|A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\right|=\left|A_{1}\right|+\left|A_{2}\right|+\left|A_{3}\right|-\left|A_{1}\cap A_{2}\right|-\left|A_{1}\cap A_{3}\right|-\left|A_{2}\cap A_{3}\right|+\left|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\right|$

Wzór zapewnia, że elementy znajdujące się jednocześnie w kilku spośród zbiorów $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ liczone są dokładnie raz.

Dowód

Niech element $a$ należy dokładnie do $m$ spośród zbiorów $A_{1},A_{2}\dots A_{n}$. W sumie mnogościowej $\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$ jest on liczony jeden raz. W wyrażeniu

$\sum _{i=1}^{n}\left|A_{i}\right|-\sum _{i,j:\,i<j}\left|A_{i}\cap A_{j}\right|+\sum _{i,j,k:\,i<j<k}\left|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}\right|-\ \dots$

$\ \dots +(-1)^{n-1}\left|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right|$

ilość zliczeń pojedynczego elementu jest równa:

$m-{m \choose 2}+{m \choose 3}+\dots +(-1)^{m}{m \choose {m-1}}+(-1)^{m+1}1=$

$=1-{m \choose 0}+{m \choose 1}+\dots +(-1)^{m}{m \choose {m-1}}+(-1)^{m+1}{m \choose m}$,

bowiem występuje on w $m$ zbiorach spośród $A_{1},A_{2}\dots A_{n}$, ${m \choose 2}$ zbiorach spośród $A_{i}\cap A_{j},1\leq i<j\leq n$ itd.

Na mocy rozwinięcia Newtona wyrażenie to jest równe $1-(1-1)^{m}=1-0=1$, co dowodzi poprawności zasady włączeń i wyłączeń, bowiem element został policzony jeden raz.